構造物理化学I (20161202) M: 以下は宮本のコメント
16s2001+: 
量子力学では線形演算子だけを取り扱うようだが, なぜ他の演算子を取り扱う場面がないのか. M: 扱いたければ, 非線形な演算子を扱えばいいのでは? しかし古典的波動方程式である微分方程式は線形なのだが, どうしてわざわざそれとは違うことをしなければいけないのか? 古典力学から量子力学へと進展するにあたり, 問題を複雑怪奇にして理解しにくくする必要があるのか? // 入力 (原因) に対する出力 (結果) が, たとえどんな関数で表現されたとしても, テイラー展開を考えれば必ず線形に近似できる. 近似の精度が不十分だと思えば, そこで初めて高次の項を考慮すればいいのでは?

16s2002: 
波動関数を使えば粒子の全情報がわかるということでしたが, 粒子の位置, 運動量以外の情報はありますか? M: 講義では, 例として分かりやすいものを紹介しただけ. あなたは, 何が知りたいのか? 講義では表 4.1 も紹介した.

16s2003: 
波動関数から粒子の位置について求めたいときの操作は どうやるのですか. M: 講義で, 位置について何を知ることができるか説明したのだが, 伝わっていなくて残念. また一般の物理量を知りたいときの手順も説明したのだが...

16s2004: 
$ {\cal H} \psi = E \psi$ は時間に依存しないシュレーディンガー方程式とありましたが, 粒子の定常性とは具体的にどういうものなのでしょうか. M: ``粒子の定常性'' って, 何ですか? 定常状態や定在波を知らないのか??

16s2005*: 
ある 2 つの物理量に対応する演算子同士が可換であるとき, 何か特別な意味をもつのか. M: それらの物理量が不確定性関係に無い. 同時固有関数を持つ.

16s2006: 
$ \cal{H} \psi = E \psi$ を固有値問題として解いた $ E$ は固有値でもあり, エネルギーでもあるのか. M: 見方が変わっても, 変数が表しているものに変わりはないのだが. 自分で判断できないのはナゼか?

16s2007: 
波動関数が複素数と決まっているのはなぜですか. M: 決まってはいないが, 波の式に $ \DS \e^{i k x}$ のような振動の因子が含まれている可能性があるのは, 当たり前では?

16s2008: 
黒板で位置や平均値を求める時, 波動関数の複素共役の方を左側に導入していたが それはどうしてか. // 運動量の平均値を求める時, $ \DS \left( - i \hbar \frac{\d}{\d x} \right)$ という演算子を用いていたが, これは, どういうふうに求められた値なのか. // 位置を特定したら運動量が分からないから 時間を無限小の大きさにして, 位置をコマ送りのようにしたら運動量は求まるのではないか. M: 二つは互いに複素共役なのだから, どっちでもいい. 習慣. // 値ではなく, 演算子. 運動量が確定している波 (平面波 $ \DS \e^{i k x}$) に作用して運動量 $ k$ を得るためには, どうすればいいか? // ``位置をコマ送り'' とは, 位置が確定しているという意味では? すると運動量が不確かになるから, 次のコマで粒子がどこに行くか分からなくなる.

16s2009: 
波動関数 $ \psi$ と対応する演算子を使って積分すれば, 物理量の期待値が得られるが, 期待値であるが故に, 何か問題が生じることがあるのか. あるいは, ある程度の期待値さえわかっていれば十分なのか. M: 問題とは? 十分とは? // 波動関数から知ることができるのはコレだというだけの話なのだが, なぜそれを素直に理解できないのだろうか?

16s2010: 
$ \DS \hat{A}$ と $ \DS \hat{B}$ 2 つの演算子が可換である場合, そのことから導き出せる粒子の情報はありますか. M: 可換かどうかは演算子の性質であって, 粒子の存在とは無関係. しかし可換な演算子にそれぞれ対応する物理量の間には不確定性関係が無く, 同時固有関数が存在する. 教科書 p.142 も参照

16s2011: 
粒子の位置や運動量の平均値または期待値を求める時の計算で, なぜ演算子 $ \DS \hat{A}$ を波動関数 $ \psi$ とその複素共役 $ \DS \psi^*$ の間にはさむのでしょうか. $ x ~\sim~ x+\d x$ の範囲内という意味なのでしょうか. M: 全くの見当違い. 形式的には挟んでいるが, その理由は以下の通り: $ \psi$ を演算子 $ \DS \hat{A}$ の固有関数系 $ \DS \left\{ \phi_i \right\}$ で展開する $ \DS \psi = \sum_{i} c_i \phi_i$. ここに (左から) 演算子が作用すると, 項毎に固有値を与える $ \DS \hat{A}\psi = \hat{A} (\sum_i c_i \phi_i) = \sum_i a_i c_i \phi_i$. ここに左から $ \DS \psi^* = \sum_{j} c_j^* \phi_j^*$ をかけて全空間にわたって積分する. $ \DS \left\{ \phi_i \right\}$ が規格化直交系を成しているので, 結局求める積分は $ \DS \int \psi^* \hat{A} \psi \,\d\tau = \sum_{i} a_i \times \vert c_i\vert^2 = \BRAKET1{a}$ になる ( $ \DS \vert c_i\vert^2$ を $ \DS a_i$ の重みとした加重平均, すなわち期待値になっている). 参考書等も参照.

16s2012: 
不確定性原理によって正確な位置は求めることができず確率でしか求めることができないとあったが, 私は位置というのは物理現象を知るうえで重要な情報だと思うが, それを確率として議論してもいいのですか? M: 位置だけでなく, 他の物理量についても確率でしか言えない. しかし量子力学の成立以来, 不都合はなかった:-) 原理的に得られないもののことを嘆くよりも, 得られるものを工夫して最大限利用することを考える方が, 生産的なのでは?

16s2013: 
存在確率について, 粒子性をもった粒子, 波動性をもった粒子の両方の粒子の存在する確率を考えているのですか. M: 光子も電子も共に粒子性と波動性を合わせ持つと統合されたのに, その粒子を再び二つに分類して, その扱い方を変える意味が分からない.

16s2014: 
$ \DS \hat{H} \psi = E \psi$ で固有値問題を解く, また微分方程式を解くという 2 つの言い方があったが, 今後でてくる別のシュレーディンガー方程式でも, 1 つの式から, 違う考えで解くというものはあるか. M: 言い方見方考え方が違っても, 波動関数とエネルギーを求めるという点でやることは同じだと説明したのだが. // あっちのシュレーディンガー方程式とこっちのシュレーディンガー方程式とで, 扱いを変えなければいけないという根拠は何かあるのか?

16s2015: 
線形演算子ではない演算子は量子力学において使う場面はありますか. M: 教科書や参考書をよく読めば分かるのでは? 16s2001 も参照

16s2016: 
シュレーディンガー方程式を固有値問題として解くか, 微分方程式として解くかは どのようにして考えるのですか. M: 16s2014 参照

16s2017: 
$ \DS \hat{H} \psi(x) = E \psi(x)$ の演算子 $ \DS \hat{H}$ は, 古典力学の変数との対応関係があることが分かりましたが, その際の演算操作はどうやって求められているんですか? M: 微分の操作や定数・関数を乗じる操作は, 普通に計算すればいいのでは? // 基本的なものは 表 4.1 に示された通り. 後はこれらの組み合わせ.

16s2018: 
時間に依存するシュレーディンガー方程式を用いることで, 粒子を定常状態としてではなく寿命をもった粒子として考えられるのでしょうか. M: ``寿命'' という言葉で何を表したいのか? // ``定常状態'' じゃないということは, 粒子の状態が変化するということ.

16s2019: 
固有値は定数と何が違うのですか. M: 固有値は関数を ``定数倍'' しているが, 方程式を満足する定数.

16s2020: 
粒子についての全情報とは何ですか. M: 16s2002 参照

16s2022: 
2 つの演算子が可換であるということから 何が言えるのか. M: 16s2010 参照

16s2023: 
教科書の p.87 に, マックス ボルン は, シュレーディンガーの波動関数の強度の解釈には論理的な難点があることに気付いたと書かれていますが, どのような難点があったのですか? M: 電子はあくまでも局在性をもった粒子だし, 電荷も分割できない.

16s2024: 
ある物理量 $ a$ の平均値 (期待値) を求めるには, その物理量に対応する演算子を使わなければならないとのことでしたが, 粒子の運動量の平均値を求める際に使う $ \DS -i \hbar \frac{\d}{\d x}$は運動量を求めるために欠かせない要素が含まれているということでしょうか. M: 他人に yes/no の返事をもらうことの意味は? 自分で判断できないのはナゼか? // 16s2008 のコメントも参照

16s2025: 
全エネルギーを観測する際, 演算子は $ \DS \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \f... ...al z^2} \right) + V(x,y,z) = -\frac{\hbar^2}{2 m} {\mathbf \nabla}^2 + V(x,y,z)$ とありました. これは極座標系でも表せると思いますが, 必要になる変数が変わります. 実際にわざわざ極座標系を使う必要のある場面は訪れることがありますか? M: 必要だから, そういう座標系が考案されたのでは? // 教科書 6 章や参考書をよく読めば分かるのでは?

16s2026: 
シュレーディンガー方程式 $ \DS \hat{H} \psi = E \psi$ を解いていく中で, $ E$ が解として導き出せたとしても, $ E$ がどんなエネルギーかはわからないのか. M: ``どんなエネルギー'' とは, 何を想定しているのか? // 系のエネルギーだし, (普通は) 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和であることは自明では?

16s2027: 
全空間にわたって積分すると, 書いていましたが範囲は 0 から $ \infty$ となるのですか? 全空間＝無限に広がる空間 のことですか? M: 教科書 p.94 や参考書をよく読めば分かるのでは? // 全空間でも粒子が存在する空間でも, 結果は同じ. 具体的な変数の値の範囲は, 座標系や系による.

16s2028: 
$ E$ が確実に決まるのであれば時間は一切定まらないが, なぜ問題ないのか? M: どんな系を扱ってるのか?

16s2029: 
シュレーディンガー方程式で得られる粒子 1 つだけの状態なのか? 多粒子でも同じように物理量を求められるのか? M: 教科書 8 章や参考書を読めば分かるのでは?

16s2030: 
表 4.1 で, 1 つの変数に対して 2 種類演算子があるものがありますが, これは何の違いですか? M: 私の本には, そのようなものは書いてないが? 具体的に, どの変数に対してどういう 2 つの演算子があるのか?

16s2031: 
今は, 時間に依存しないシュレーディンガー方程式について学んでいますが, 不確定性原理により, 平均の位置しかわからなく, 粒子がその次にどこに動くかはわからないはずですが, この定常状態においても特定するのは不可能なのですか? M: なぜ不確定性原理が成り立たない状況が起こりうるのか?

16s2032: 
波動関数における粒子には, 「大きさ」という概念はなく, それ以上分けられないものなのですか? M: 素粒子は内部構造を持たずに分割もできないと考えられている. // その波動関数で表されている系とは, 何なのか?

16s2033: 
$ \DS \hat{H} \psi = E \psi$ という時間依存しないハミルトニアンの固有値方程式であれば, 系のエネルギーについて, あいまいさがなく求めることができるが, 時間依存するシュレーディンガー方程式 $ \DS \hat{H} \psi(x,t) = i \hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}$ については どのようにして求めるのだろう. M: 教科書 13 章や参考書を読めば分かるのでは?

16s2034: 
$ \psi$ によって得られるものは 粒子の「大体の位置」といった得たい物理量の期待値であるという認識であっていますか? 「大体」ではなく確定的な物理量は やはり得ることはできないのでしょうか. M: 時間に依存しないシュレーディンガー方程式から, 定常状態のエネルギー固有値があいまいさ無しに得られると説明したのだが, 理解してもらえなくて残念 :-< // また, 期待値は「大体の値」ではないし, 確率密度分布という形で粒子の位置がはっきりと分かるとも言える.

16s2035: 
時間に依存するシュレーディンガー方程式は, あるか? あるとしたら何に用いることができるのか? M: 何周の周回遅れなのだろうか? これまでの他人の質問とコメント, 教科書, 参考書をよく読めば分かるのでは?

16s2036: 
波動関数なら粒子の全情報がわかると習いましたが, 分子中に存在する原子の位置や運動量もわかるのですか? M: あなたが考えている ``系'' とは, 何か?

16s2037: 
複素共役をもつ波動関数は どのような役割をはたしているのですか? M: 複素共役をもつ複素関数であろうと, 複素共役が自分と一致している実関数であろうと, 波動関数には変わりない. これらの役割が違うと考えるべき根拠があるのか?

16s2038: 
原子の電子軌道は $ \psi$ を求めて出したものですか? また, 物理量 $ A$ に対応する演算子は 何かの式から導き出すものですか? それとも公理ですか? M: 教科書 6 章や参考書を読めば分かるのでは? // 16s2017 参照

16s2039: 
位置などの物理量の幅が膨大に広くなることはあるのか. もしそうなるのであれば, 正確性が乏しく, あまり意味がない気がします. M: 不確定性原理によって不確かさの最小値が決まる.

16s2040: 
波動関数によって粒子の全情報がわかるといっていましたが ここでいう粒子に光子や重力子などの素粒子も含まれますか? M: ある粒子を含むか含まないかの基準があるのか? // 今のところ ``重力子'' の存在は, 確認されていないのでは?

16s2041: 
なぜ量子力学では線形演算子のみを取り扱うのですか. M: 16s2001 参照

16s2042: 
なぜ演算子を $ \psi$ と $ \DS \psi^*$ で「はさむ」と表現するのでしょうか? 例えば $ \DS \psi^*$ は $ \psi$ の右でもいいのではないでしょうか. M: それだと 演算子の影響範囲がわかりにくい. 線形代数的には, $ \psi$ が列ベクトルなのに対して $ \DS \psi^*$ は行ベクトルとして左に書かなければ, 正しく内積の計算ができない.

16s2043: 
波動関数は粒子の全情報がわかるとあるが, 波動関数は その空間内のすべての粒子に用いられるのですか. それとも, その空間内の数ある粒子の中から 1 つの粒子に用いられるのですか. M: 考えている系は何か? 波動関数は系の状態を表す状態関数であると, 教科書 4 章や参考書を読めば分かるのでは?

16s2044: 
もし, 演算子が可換であるとして計算では何か変わることはあるのですか? M: 16s2010 参照

16s2045: 
時間に依存するシュレーディンガー方程式と時間に依存しないシュレーディンガー方程式とでは答えが変わってくるのですか. M: 同じ現象を扱って, 答えがかわってくるのか?

16s2046: 
$ \DS \psi^*$ と $ \psi$ ではさみ, 全空間にわたって積分すると確率や, 期待値を求めることができるが, それはなぜか. M: 16s2011 参照

16s2048: 
演算子は関数に作用し, 別な関数をつくるとあり, その例として, $ 3 \times f(x) = 3 f(x)$ とありました. では $ 1 \times f(x) = f(x)$ のときは, 演算子と言えるのでしょうか? M: 同じ形式なのに, 特定の倍率の場合だけ ``別な関数'' と呼んでいけない理由は?

16s2049: 
波動関数 $ \psi$ を調べると, 不確定性原理のために位置や運動量の期待値・平均値までしか分からないので粒子についての全情報が得られるとは言い難いのではないか? M: 16s2012 参照

16s2050: 
シュレーディンガー方程式にも不確定性原理が当てはまりますが, 粒子の位置と運動量を正確にあらわそうとする人はいたのでしょうか. また, 正確にあらわすことで進歩する可能のある化学の分野はありますか. M: 私は知りません, 科学史を勉強すればわかるのでは?

16s2051: 
シュレーディンガー方程式で全エネルギーがでてくるので位置をかくていした時 速度がでると思うのですが, 不確かさというのは速度の向きの部分なのですか? M: 本当に速度がでるのか? どうやって??

16s2052: 
シュレーディンガー方程式が公理なのは, シュレーディンガー方程式をもとにして, 量子論というものが考えられたからですか? M: 本人に聞けば? 公理の役割は?

15s3005: 
陽子と電子で電気的なつりあいがとれているのに なぜ原子核に中性子が必要なのか? M: 原子核物理学を勉強すればわかるのでは?

15s3007: 
物理学者マックス・ボルンがシュレーディンガーの解釈には理論的な難点があるのに気がついたとあるが, 散乱理論から, 電子がその領域全体にわたって広がらないで向きがあるのか? M: 後半部, 意味不明. 16s2023 も参照

15s3014: 
シュレーディンガーの $ \DS e \psi^*(x) \psi(x)$ が電荷密度, $ \DS e \psi^*(x) \psi(x) \d x$ が $ x ~\sim~ x+\d x$ の間にある電荷量という解釈はどこに難点があるのですか. M: 16s2023 参照

15s3025: 
不確定性原理より, 粒子の位置を決めようとすると運動量に不確かさが持ち込まれ同時に決定できないということは分かったのですが, それは時間に依存しないこととどう関係するのですか? M: 意味不明. // 位置と運動量の間に不確定性関係があるのと同様に, エネルギーと時間の間にも不確定性関係がある.

15s3028: 
なぜ特殊相対性理論と量子力学は交われるのに一般相対性理論と量子力学は交われないのか? M: 意味不明. ``交われる/交われない'' とは, どういうことか?

15s3039: 
波動関数 $ \psi$ は確率論的に解釈されるが, 確定的な値を求めることはできないのか. M: 定常状態のエネルギーは確定値として得られる. 物理量の平均値や分散も確定値として得られる.

15s3041: 
エネルギーと時間では, 不確定性原理が成り立ちますが, 時間に依存するシュレーディンガー方程式において, $ \DS \hat{H}$ を作用させた時, どのような式または固有値が得られますか? M: 系に依存

14s3007: 
自由粒子は粒子がポテンシャルエネルギーを感じていない, $ V(x)=0$ の粒子とありますが, 位置ポテンシャルが 0 では地面に接している (高さ 0) の状態ですが, このときの粒子の状態はどのような状態なのですか? M: 勘違いの予感. ``位置ポテンシャルが 0 では地面に接している (高さ 0)'' は, 重力場中にある粒子を想定しているようであり, それでは自由粒子ではない. またポテンシャルエネルギーは差しか意味がないので任意の地点を原点にとってよい. 結局ポテンシャル $ V(x)$ が位置 $ x$ に依存しない定数 (ここを原点とする) であれば粒子は力を受けないので ( $ \DS -\frac{\d V(x)}{\d x} = 0$), それは自由粒子を意味している.

14s3034: 
運動量の平均値を求めるとき, $ \DS \int \psi \hat{p} \psi \,\d x$ を計算するが, $ \DS \hat{p}$ を $ \psi$ に作用させたときの個有値[原文ママ]も $ \BRAKET1{p}$ と同じはずなので, わざわざ積分をして平均値を求める方法をとるのはなぜですか. M: 状態を表す波動関数 $ \psi$ が, 演算子の固有関数であるとは限らない. また場合により計算方法を変えず, いつも同じ方法でよいことも示す.


rmiya, 2017-01-16