構造物理化学 I (20150608) M: 以下は宮本のコメント
14s3001: 
$ \DS -\frac{\hbar^2}{2 m}\frac{\d^2}{\d x^2}$ はどうして運動エネルギーをあらわすことができるのですか? このとき $ \DS \frac{\d^2}{\d x^2}$ はどのような役割を果たしているのでしょうか. M: 教科書 §4.2 s参照

14s3002: 
粒子の強度は振幅の 2 乗であり ある場所に粒子が見つかる確率ともいっていますが, 振幅の 2 乗が粒子の見つかる確率であるというのは, どのようなイメージをもてばいいのでしょうか? M: 文字通りですが. 多数回試行した場合や多数の同種の系を用意した時の, 割合の数とか.

14s3003: 
$ \DS \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2 m} \cdot \frac{\d^2}{\d x^2}$ の部分で $ x$ を 2 回微分されているので 何か 2 つの要素を同時に固定できるのですが, この場合何と何が同時に固定できるのですか? 路離と路離[原文ママ]では 普通に考えて有りえないと思うのですが. M: ``何か 2 つの要素を同時に固定できる'' とは, 何のことか?

14s3005: 
教科書 p.87 で, 電子がその領域全体にわたって広がっているというイメージには論理的な難点があるとありますが, どんな難点でしょうか. M: 本気ですか? 例えば電子の大きさは? 領域を分割すれば, 電子 (や電荷) も分割できる? 電子を (スクリーン上の輝点で) 観測すると?

14s3006: 
節の位置に粒子が存在しないことは粒子の波動性によるものでしょうか. 粒子自身が干渉し, 性質を打ち消しているのですか. M: 前半に関して, 教科書には図も描かれていたのに, 自分で判断できないのは何故? // ``粒子自身が干渉'' とは, どういうことか?

14s3007: 
シュレーディンガー方程式は固有値問題としてしか解くことはできないのですか? 他の解きかたがある場合, どのように使いわけられるのですか? M: 誤解の予感. 教科書 §3.3 のタイトルをよく読めば良いのでは? 問題の解き方を強制されるなんて, ずいぶん窮屈な世界観ですね. 14s3035 も参照

14s3008: 
$ \DS \hat{H}$ を代入したシュレディンガー方程式は $ \DS -\frac{\hbar^2}{2 m} \psi(x) = E \psi(x)$ となるというのですが, $ \DS \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2 m} \uwave{\frac{\d^2}{\d x^2} + V}$ なのに 部分を省いているのはなぜですか? M: 教科書等を見て自分で判断できないのは なぜか? どういう問題をといているのか, よく思い出せばいいのでは(?)

14s3009: 
力学的エネルギー保存則とあるように ハミルトニアンにも保存という考えは存在しますか. M: 演算子が保存されるとは, どういう意味か??

14s3010: 
光子のエネルギーは $ E = h \nu$ で表わされます. 今回の講義で node が増える程エネルギーが大きくなると学んだのですが, これは光子のエネルギーが大きくなるのは光子の密度が大きくなることと関係しているということですか. M: ``光子の密度'' とは何か? どこから湧き出た光子によって密度とやらが大きくなるのか??

14s3011*: 
箱の中での粒子のエネルギーの量子化は, 開けた空間でも当てはまるのでしょうか. M: 自分で解いてみれば(?) 束縛条件が重要であると言ってみるテスト. 12s3045 参照

14s3012: 
$ \DS E_n$ が離散的な値だけが許される条件のもとで 固有値・固有関数の組を限定していけばよいのでしょうか. 無限個あるのであれば, やはりどのような値でも当てはまるのではないかというイメージがはなれないのですが…. M: 勘違いの予感. エネルギーが離散的であるのは (前提) 条件ではなく, 結論です. 講義で示したシュレーディンガー方程式を解く過程を, よく復習して理解しましょう. // 自然数は無限個ありますが, 数直線上では離散的に存在し, 連続した値をとる実数とは異なります.

14s3013: 
一次元の箱の中の粒子の問題について学びましたが, 一次元を拡張して二次元や三次元についての問題はあるのでしょうか. あるとしたら, それにはどのような意味があるのでしょうか. M: たとえば §3.9 は三次元の問題を, 章末問題 3.27 は二次元の問題を, それぞれあつかっています. 意味は自分で考えて, 応用力を養えばいいのでは??

14s3014+: 
ミクロな世界で node の位置に粒子は存在しないとは その位置を通過しないということか? M: 文字通り ``node の位置に粒子は存在しない'' という意味. // 粒子が軌跡を描いて運動するという描像は, 不確定性原理の視点から間違い.

14s3015+: 
粒子の強度というのは粒子が存在する確率という意味ですか. M: 教科書の該当部分の原書英文は, 波についての ``the intensity of a wave is the square of the magnitude of the amplitude'' をふまえた ``the intensity of the particle'' である. Intensity も magnitude も amplitude もみな, 日本語では強度の意味に使われるので, ややこしい :-) なおこの英文では, particle が単数形であることにも注意.

14s3016: 
古典力学では, エネルギーがとびとびの値しかゆるされないことは説明できず, どのように定義しているのですか? M: 古典力学ではそもそもエネルギーは連続量ですから. この文脈で定義の話が出てくるのは意味不明です.

14s3017: 
箱の中の粒子の問題では 1 つの粒子の確率密度を考えましたが, 複数の粒子を考えるとこの確率に誤差が生じるのではないでしょうか. M: ``誤差'' という言葉の使い方に違和感があります. 教科書 8 章を勉強してはいかがか.

14s3018: 
$ n=1$ だと節はなく, 直鎖の共役炭化水素は $ \pi$ 電子雲であるので $ 0<x<a$ で電子の確率が 0 でないことがわかりましたが, $ n>2$ の場合は電子の存在確率が 0 の節が出てくるので, 現実的にどのような例でしょうか. そもそも例をさがすこと実体[原文ママ], 考えない方がいいのでしょうか. M: 激しく勘違いの予感. たとえ $ n>2$ であろうとも, 直鎖の共役炭化水素の $ \pi$ 電子が実例です.

14s3020: 
``粒子の強さ'' の定義が良く分かりませんでした. $ \psi(x)$ はある意味で粒子の振幅を表している, とありましたが, 粒子の強さは $ \DS \vert\psi(x)\vert^2$ に比例する, という事は振幅と関係ある, と考えましたが, どのようなものと促えれば[原文ママ]いいのでしょうか. M: 14s3015 参照 // 量子力学の基本に戻れば, 粒子も波であるから...

14s3021: 
波動関数では粒子の存在を示すときには確率論的でしか解釈することはできないのですか? M: 言葉づかいに違和感がある. ``示す'' と ``解釈する'' は, 結果と考察ぐらいに全く異なることだと思うのだが......

14s3022: 
なぜ $ \DS \vert\psi\vert^2 \d x$ で粒子が見つかる確率といえるのですか. M: 別に. 他の解釈もあるかもしれないが, 式 (B.4) などとの類似性は重要なヒント. 教科書や参考書をいろいろと読んで考えてみればいいのでは(?) // 14s3039 参照

14s3023: 
先生ご自身も講義中におっしゃっていましたが, 粒子の強度が粒子の存在確率 $ \DS \vert\psi\vert^2$ に比例する, ということは どういう事なのでしょうか. M: 言葉通りの意味ですが, なにが分からないのでしょうか?

14s3024: 
一次元の箱の中の粒子について講義ではポテンシャルエネルギー $ V=0$ としてやっていますが, 一次元の箱の中の粒子のポテンシャルエネルギーが 0 ではない状況というのはあるのでしょうか. M: 最も単純で簡単な系が $ V=0$ というだけで, 他の場合もあるでしょう. そもそも一定値ですらないかもしれないし. 教科書や参考書には, いろいろな例が載っていると思いますが, 見ていないのですか?

14s3025: 
量子力学では $ \DS \hat{A}$ (線形演算子) だけを扱っている事は理解しました. // $ \DS \hat{H}$ (ハミルトン演算子) は箱の中の粒子を求める時に出てきましたが, $ \DS \hat{H}$ はどん[原文ママ] $ \DS \hat{A}$ と何が異なっているのですか? M: 本気ですか? ここまでで $ \DS \hat{A}$ は任意の (線形) 演算子を表すものとして使われていたことを理解していただけなくて残念.

14s3026: 
波動関数は粒子のある意味での振幅とかかれていましたが, ある意味での振幅とは どんな振幅なのですか. M: レトリックが通じない(?!) // 14s3015 参照

14s3027: 
離散的な値をとっていれば, エネルギーや電子でなくても量子化されている, ということができるのでしょうか. M: 言葉づかいがメチャクチャな気がします. ``電子が量子化されている'' とは, どういうことか? // ``量子化'' の意味をもう一度しっかりと確認すればいいのでは(?)

14s3028: 
粒子の強度とは具体的には何に対する強度か? M: それはまた ``引っ張り強度'' などとは強度違いですネ :-p 14s3015 参照

14s3029: 
量子数 n は実験的に求めたエネルギーとシュレーディンガー方程式から求めた固有値を比較して得るものなのでしょうか? それとも自然数の分だけ波動関数との組み合わせがあるというためのものでしょうか. M: いいえ, 何かの勘違いでしょう. // 例えば得られたエネルギーの表式 (3.21) をよく見て考えればいいのでは(?)

14s3030: 
教科書では一次元の次に三次元を述べているのですが, 特に意味はあるのでしょうか. それともただ二次元の説明を省略しただけなのでしょうか. M: 教科書 §3.9 における論理で, 次元の数に特に意味はあるのでしょうか? 全ての次元数について逐一述べなければいけないのでしょうか?

14s3031: 
node の位置に電子が生じないのはエネルギーが高いと電子のエネルギー準位が上がりより不安定になるからという理由もあるのでしょうか. M: 言葉遊びをして理解したつもりになるのは無意味です. 電子はどこかから ``生じる'' ものじゃないし, エネルギーが高いこととエネルギー準位が上がることと不安定な事は, 全て同じ意味ですから, トートロジーであって説明になっていません. で, エネルギーが高かろうが低かろうが, node の位置に粒子を見出す確率はゼロです.

14s3032: 
箱のポテンシャルエネルギーが $ V=\infty$ であるのに対して ハミルトニアン中のポテンシャルエネルギーに対応する $ V(x)$ がゼロなのはなぜでしょうか. M: 全く理解されていなくて残念. ポテンシャル $ V(x)$ は位置 $ x$ の関数であり, 箱の中と外で異なる値であるというだけのことです. これのどこが理解困難なのだろうか?

14s3033: 
なぜ 2 つの演算子が可換であるとき, 不確定性関係にないことがいえるのか. また可換かどうかを調べるとき, 不確定性関係であるかどうか以外にわかることはあるのでしょうか. M: 教科書 §4.6 や参考書を読んで勉強すればいいのでは(?) // 同時固有関数とか, 線形代数を勉強(復習(?)) すればいいのでは(?)

14s3034: 
不確定性関係の説明が理解できなかったので分かりやすく説明していただけないでしょうか. M: いいえ. 自分でじっくりと勉強することも必要です. 14s3033 参照

14s3035+: 
今回, シュレーディンガー方程式を固有値問題として計算する上で n を用い, 粒子のエネルギーが量子化されました. 一方, ド・ブローイ波長では ``量子条件'' として n を用いてました. 初めから条件として使用した量子化と計算の結果としての量子化に違いは発生するのでしょうか. まったく同じなのでしょうか. M: なるほど, そういう珍妙な誤解をしているワケね. // シュレーディンガー方程式を固有値問題と見るか否か (これは人間の解釈) にかかわらず, 方程式の解としてのエネルギーと波動関数は同じものが得られます. なぜなら微分方程式の一般解は数学上の問題だし, 物理的に意味のある解を得るための境界条件も数式で与えられているので, 結局やっていることは数学的な式の取扱いですから. ここに人間の解釈は関係ありません. // ``条件として使用した量子化'' は, 水素型原子に対するボーア・モデルの話です. その意味でもボーア理論を前期量子論と呼び, 本当の量子論とは区別する場合があります. 何でもかんでも混同しないでください.

14s3036+: 
シュレーディンガー方程式等の仮説はどのような経緯で仮説的公理となったのでしょうか. 実験的に目に見えてわかるものではないので (仮説的) 公理にするのはむずかしいと思うのですが… M: 実はそうではありません. 公理の選び方には任意性があります. たとえば命題 A を公理として命題 B をそこから導かれる定理とする場合と, 逆に B を公理として A をそこから導かれる定理とするやりかたが考えられますが, どちらを選ぶかには任意性があります. そしてこのような理論の正しさは, 物理理論の場合には, 実験事実によって検証されます.

14s3037: 
n が自然数でなければ $ \DS E_n$ は量子化されることはないのでしょうか. M: 式 (3.21) だけを見れば, 確かに n が実数ならばエネルギー $ \DS E_n$ は連続量です. しかしそれでは, 式 (3.21) が導出されてきた過程の論理を全く無視していて, 式 (3.22) の波動関数は境界条件を満足しません.

14s3038+: 
箱の中の粒子が箱の外に飛び出した場合, その粒子の存在は急になくなってしまうのですか? それとも, 箱を飛び出した後も運動を続けるのですか? M: 三つの誤解がある予感. 今回の問題では, 箱の外ではポテンシャルエネルギーが無限大ですから, 粒子は無限大のエネルギーを持っていなければ, 箱の外に出る事はできません. また自然は連続ですから, 粒子の存在確率密度は箱の中から外に向かって連続的に変化しています. さらに量子力学的な粒子は, 古典的なマクロな粒子のような運動をしていません.

14s3039: 
粒子の強度は $ \DS\psi(x)^*\psi(x)$ に比例するということを学んだが, このことを, 粒子が見つかる確率であると解釈できるのは なぜですか. M: 14s3022 参照 // ``解釈できる'' のではなく, もっと主体的に ``解釈する'' のである. ある客観的な理由とか法則により, 解釈のしかたがそうと決まっているのではない. そのような意味づけにより, 人がその数式を理解しようとするのである. であるから, もちろん他の解釈があっても良い. 複数の解釈が可能であるということを念頭に置けば, ``解釈できる'' との表現でも良い.

14s3040: 
シュレーディンガー方程式は個有値問題[原文ママ]として定式化できるということは, 固有値問題でなかったら定式化できなかったのでしょうか? 他に求められる方法がなかったということなのでしょうか? M: 前者は言葉遊びみたい. 言葉遊びは楽しいですか? できると言っているのに, できない場合を考えて楽しい? // 後者は 14s3007, 14s3035 参照

14s3041+: 
$ \DS \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{\d^2}{\d x^2} + V$ の $ \DS -\frac{\hbar^2}{2 m}\frac{\d^2}{\d x^2}$ と $ V$ はそれぞれ運動エネルギーに対応する項とポテンシャルエネルギーに対応する項とおっしゃっていましたが, 実際にはそれぞれの項は運動エネルギーとポテンシャルエネルギーではないのですか. もしそうであるなら, それぞれの項は何を表しているのですか. M: 第一項は見るからに微分演算子であって, 物理量 (運動エネルギー) ではありえません. また第二項は値 (または関数) ですが, これもハミルトン演算子の一部分であることを考えれば, 定数 (または関数) をかけるという演算子ですね. 結論： 演算子は物理量そのものではありません.

14s3042: 
粒子の強度とは, 粒子の何についての強度ですか? また, なぜ箱の外の粒子の存在を知るために粒子の強度が必要になるのですか? M: 14s3028, 14s3015 参照 // 予想の斜め上を行く誤解だ. 問題は ``箱の中の粒子'' なのだが. 教科書や参考書をよく読めばいいのでは(?)

14s3043: 
節の数が多いと, エネルギーが大きくなると教わりましたが, 原子が結合する時に, 結合性軌道を作り, 安定化し, 反結合性軌道を作り, 不安定化し, エネルギーが高くなるのと関係がありますか? M: 教科書 九章や参考書を読んで勉強すればいいのでは(?)

14s3044: 
授業で聞いていてもあまりよく分からなかったのですが, 離散的な値や, とびとびで数値の間が抜けているのが量子化なのでしょうか? M: 少し違う. 離散的な値であって簡単な整数 (自然数) で特徴付けられるのが量子化. // 意味が分からなければ, 教科書や参考書をよく読めばいいのでは(?)

14s3045: 
節の数「n」が大きくなればなるほどエネルギーが大きくなることは分かりましたが, 何故エネルギーは $ \DS n^2$ に比例するのか? $ n$ に比例するのではないのでしょうか. M: 計算過程を追えば明らかなのに, 納得できないとは… そういうのは ``分かった'' と言わないのでは(?) 逆に何故 $ \DS n^2$ でなくて $ n$ に比例すると考えたのか??

14s3046: 
量子数を場当たり的に導入したプランクとボーアの理論は成立しているのでしょうか. M: 勘違いでは? 成立しているから, 当時もてはやされたし, 今も生き残って価値を認められている.

13s3001: 
$ \DS \vert\psi(x)\vert^2$ は粒子の存在確率を表しますが, $ \psi(x)$ だと特に具体的な意味はもたないのですか? M: 教科書等に書いてある通り. 二乗すると粒子の存在確率を表すという意味がある :-p

13s3006: 
一次元の箱の中の粒子の問題の粒子とはどのように定義されるのでしょうか. 電子レベルまででしょうか. 箱の中の電子の問題ではダメなのですか. M: 粒子の質量に $ \DS m_$e でなければならないという制限はない. 電子だけに制限すると, 一般性を失ってしまう. もちろん今の記述は一般的なものなので, 電子を含んでいる.

13s3012: 
結局, 「粒子の強度」って何なのですか? M: 教科書や参考書をよく読んでみればいいのでは(?) 14s3015 参照

13s3025: 
$ \DS E_n$ の式より, 箱の長さを縮めればポテンシャルエネルギーに打ち勝って電子が飛び出してくるように思えるが, 物質を圧縮して電子が飛び出る例としては何があるのだろうか. M: 珍妙な誤解の予感. 箱の長さを縮めれば, 同じ量子数 $ n$ の時のエネルギーは大きくなり, またエネルギー準位の間隔も大きくなる. しかし箱から飛び出るくらいのエネルギーって, 一体どの位だと思っているのか? // 箱の長さを縮めるために, 圧縮という力をかける必要があるというのもおかしい. 例えば $ \pi$ 共役系の長さを変えるのに, 引っ張ったり押し縮めたりするのか??

12s3024: 
$ 0<x<a$ において存在確率は 1 であるのに n が大きくなるとエネルギーが大きくなるのは なぜですか? M: 存在確率 (なぜ 1 なのだ(?)) とエネルギーの大きさに, どんな関係があるというのか?

12s3029: 
量子数 n はどのようにして決まるのですか. $ k a = n \pi$ で出てきた時に決まるのですか? M: ``決まる'' という言葉に, 過度の期待をしていないか? // ハミルトニアンの固有状態は, 固有値 $ \DS E_n$ と固有関数 $ \DS \psi_n$ により記述される. すなわち量子数 n は, 状態を指定する index である.

12s3045*: 
量子化されていない状態というものは存在するのでしょうか. M: 14s3011 参照

10s3008: 
一次元の箱の中の粒子問題を複雑化して, 粒子が 2 つ存在する場合を考えたとき, 粒子同士の衝突についてもシュレーディンガー方程式で記述できるのでしょうか? M: 教科書 8 章を勉強してはいかがか.


rmiya, 2015-07-29