構造物理化学 I (20150525) M: 以下は宮本のコメント
14s3001: 
長方形の膜の振動についての理解が不十分でした. 振動は紙面に垂直な方向に起こっているのですか? また, 垂直方向に起こっているのなら $ x$, $ y$ 以外に変数が必要になりませんか? M: 膜の振動の様子を常識的に想像してみれば良いのでは(?) 1 次元の弦の振動が, 弦が張られている方向 ($ x$) に垂直な方向に起こっている時, $ x$ 以外にもう一つの変数が必要になりますか? 14s3011 のコメント参照

14s3002: 
波の媒体として, 三次元の具体例として「音」がありましたが, 波と粒子の性質を合わせ持つ「光」も, 三次元の波動方程式に当てはまるのでしょうか. また, 現在考えられている四次元の波の媒体は どのようなものがあるのですか? M: 他人から天下り的に与えられる三次元の波動方程式に当てはまるもののリストを暗記するのは, 勉強法として適切とは思えません. 自分で判断できるようになってください. // そもそも四次元の波には, どんなものがあるでしょうか? 14s3014 も参照(?) // 物理学の基礎の復習が必要か(?)

14s3003: 
一次元の場合 $ \mu(x,t)$ [原文ママ]で振幅を求めることができるのですが, 二次元の場合, 座標を求めることができても, 振幅を求めることができません. この場合振幅を, どうすれば求めることができますか? M: 一次元の場合と同様に (すなおに次元を拡張して), 計算すればいいだけでしょ. // もしかしてそれ以前の問題か? 式に登場する記号の意味を, ひとつずつきちんと理解する必要がある(?)

14s3005: 
電子は何次元の波としてふるまうのでしょうか. 光が空間を伝わる時, 何の密度が変化しているのでしょうか. M: 伝わる次元の数を考えればいいのでは? // 本気ですか? 物理学の基礎の復習が必要か(?)

14s3006: 
変数分離があるということは, 定数分離もあるのですか. M: 分けたければ分ければ良いのでは(?) でもそれで, 一体何をやりたいのでしょうか??

14s3007: 
長方形の膜の場合と正方形の膜の場合では, ほとんど違いがないように感じたのですが, それ以外の形の膜の場合はありますか? その場合も同じやり方で求めることができるのですか? M: 好きな形に膜を切って, 枠に張れば良いのでは? ``同じやり方'' が何を指すのかあいまいですが, 自分でやってみれば良いのでは?

14s3008: 
音の話で思ったのですが, 音は空気中の何を伝わって私たちの耳に届くのですか? 音を伝える素粒子みたいなものはあるのですか? M: 本気ですか? 物理学の基礎の復習が必要か(?)

14s3009: 
物理的に四次元以上の波の物理量を考えるのは難しいということでしたが, それは四次元から時間の次元が入り, 変数に $ t$ なるものが二つ存在することになるからでしょうか. M: なぜ ``四次元から時間の次元が入り'' となるのでしょうか? 一次元から三次元まで順に次元を増やしていった過程をすなおに継続すれば良いのでは(?) 14s3002 の後半参照 14s3023 のコメント後半参照

14s3010: 
今回 $ a=b$ の膜のとき縮重という現象が起こるという話だったのですが, これは 1/2 乗の中身が一緒であれば縮重は起こりえますか. 例えば $ \DS \omega_{nm} = \frac{v \pi}{a}\left(n^2 + m^2\right)^{1/2}$ $ \DS \omega_{n'm'} = \frac{v \pi}{a}\left(n'^2 + m'^2\right)^{1/2}$ という 2 つの基準モードがあり, $ \DS n^2 + m^2 = n'^2 + m'^2$ だった場合, それは縮重が起こりますか. M: ``縮重'' というのはどういうことか, 基本 (定義) に忠実に考えて判断すればいいのでは? なぜ自分で判断できないのでしょうか??

14s3011: 
振動する弦の運動は二次元であり, それを一次元の式で記述できて, 振動する膜は三次元の運動であり, それを二次元の式で記述できる. ということは仮に三次元の式を $ \DS \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$ ( $ u = u(x,y,z)$) とすると, 四次元の運動 (?) も記述する事が出来るのですか? 出来たとすると, 4 つ目のベクトルは時間でしょうか, それとも数学上での未知な変数なのでしょうか. しかし物理は実際に存在する事象を表すものであるから, これは全く的外れな事をしているのでしょうか... M: ``振動する弦の運動は二次元であり'' からして, 激しく誤解の予感 (弦の張られている方向を $ x$ とすると二次元の運動とやらのもう一次元は何か?). 具体例として弦の振動をとりあげたのは, 一次元の波の話だが, このときの次元は, 波の伝わる方向とか振動している媒体のつながっている方向とかの話. そもそも波には縦波と横波があり〜〜という話など, 物理学の基礎を復習する必要がありそう.

14s3012: 
式 (2.32) と式 (2.46) の式の関係性 (変形?) がよくわかりませんでした. 時間依存性が式 (2.46) のそれぞれの項のどのような変化からどのように見出されるのですか? M: 微分方程式 (2.32) の一般解が式 (2.46) である. 変数や定数などの記号が異なるだけで, 微分方程式の形式は §2.3 のものと全く同じ. たまたま変数 $ t$ が時間を表わしているから, 関数 $ T(t)$ は元の波動方程式の解である関数 $ u(x,y,t)$ が時間に依存してその値を変化させる様子を記述していることになる. // (2.46) において $ \DS E_{nm}$, $ \DS F_{nm}$, $ \DS \omega_{nm}$ は n, m に依存した定数であり, 時間経過しても変化しない.

14s3013: 
一次元の波の節は点, 二次元の波の節は線であるが, 三次元の波の節は何か? 三次元の波がイメージしづらいので. M: 点・線・○ と順に次元を上げていけばいいだけでは(?) 14s3023 のコメント後半参照

14s3014: 
三次元的な存在である人間がより高次の次元を知覚することは出来るのか? M: 超ひも理論で ``11 次元の振動するひも'' などと言われても, 想像するのは困難ですよネ :-)

14s3015: 
四次元の波動方程式の変数は何を表すのでしょうか. M: 14s3009 参照, 14s3014 も参照

14s3016+: 
縮重を考えるときは, そのときに扱っている現象をよくとらえ, 場合を分けて考えることが重要なのでしょうか. M: いつでもどこでも, そのときに扱っている現象をよくとらえ, 分析的に考えることが重要です, よね :-)

14s3017: 
二次元で $ a=b$ のときに縮重がおこるとのことでしたが, さらに高次元でも縮重はおこるのでしょうか. M: 縮重を二次元に限る必要があるのか? 14s3010 のコメント参照

14s3018: 
正方形の膜の場合, 境界条件はどうなるのでしょうか. M: 20150518 の 11s3046 のコメント後半を参照

14s3020: 
三次元の場合, 密度が変化するとして, 四次元の場合は何と考えられるのですか? M: 具体例の一つをあげただけで, それに限定されるものではない. 自分で好きに応用すればいいのでは(?)

14s3021: 
波動方程式は 一次元, 二次元, 三次元で求めることができますが, 四次元の波動方程式を記述しようとした時は, 波動方程式にどのような要素を考慮すると記述できるようになるのですか? M: 波動方程式を求める?! // 14s3009 のコメントの後半参照

14s3022: 
授業とはあまり関係ないのですが, 風というのは波の一種でしょうか. 波だとすると風の動きも波動方程式で記述できるのでしょうか. M: 気象学を勉強すればいいのでは(?)

14s3023+: 
三次元の波について, 疎密波が伝わる, という表現がすごいな, と思いました. また, 二次元の波でも $ \DS -\beta^2$, $ \DS -p^2$, $ \DS -q^2$ のように負の値を用いていましたが, あんちょくに一次元の波で負であったから負であるとして良いのでしょうか. M: 変数分離して得られた一変数についての微分方程式の解は, その元が一次元の波であったかそれとも二次元の波であったかにより, 結果が異なるのでしょうか? 数学は, そういった具体的な観点を排除して抽象化するから, 物理現象を記述する道具として強力なのではないでしょうか.

14s3024: 
三次元に拡張したときの媒体を考えるときの境界条件はどのようなものですか. 二次元であった節線のようなものは三次元でも存在するのですか. M: 未だに境界条件の意味を理解していない人がいることにビックリ. 20150518 の 11s3046 のコメント後半等を参照 // 14s3013 参照

14s3025: 
二次元は (2.28) のような式を持ち, $ u=(x,y,t)$ [原文ママ] となる事を理解できました. 4 つの境界条件下においては それぞれ膜のどの部分が振動しているのか分かりませんでした. なのでこの様子を表したらどうなっているのですか? M: ``この様子を表す'' とはどういうことか? 質問の意味不明. // 両端が固定された弦は, どの部分が振動していたか?

14s3026: 
一次元や二次元の波動方程式の境界条件は理解できたのですが 三次元のときの条件は具体的にはどんな状況なのですか. M: こういう質問をしていることから, 一次元や二次元の波動方程式の境界条件について本当に理解できているのか怪しいと思われる. 14s3024 参照

14s3027: 
図2.6 と図2.7 について, 図2.6 では図2.7 の $ \DS u_{22}$ のような図がありませんが, 長方形の場合でも図2.7 の $ \DS u_{22}$ のような場合が考えられるのでしょうか. M: 個別の場合についていちいち全部を示さなければいけないのでしょうか? また, 自分で判断できないのは何故でしょうか??

14s3028: 
なぜより一般的な解を求める時に, 総和を求めるのか? 波の重ね合わせをしていけば振幅は変化していくと思うのですが...　 M: 思うのは勝手だが, そのためにフーリエというキーワードを示したのに, 自分で勉強しようとは考えないのでしょうか? // 振幅が (正弦波から) 変化して, 任意の形の波を表現できるというのがミソなのだが...

14s3029: 
密度の話が少し出ましたが, 実際に弦や膜の密度を考えるときは, 式のどの部分にかかるのでしょうか. M: 講義で密度の話はしましたが, 横波を伝える媒体の密度の話はしていません. // 弦や膜の密度については, 波動方程式の成り立ちについて, 物理の基礎を復習すればいいのでは(?)

14s3030*: 
その波が, 縮重しているとわかるときというのは ある数を代入することではじめて分かることのように思えますが, 縮重していることを予想できるような方法というのはありますか. M: 長方形の膜では縮重していないものが, 正方形や円形なら縮重がある. このようにものの形というのは重要な要素です. われわれの興味がある分子もそれぞれ特有の形をしていますので, その幾何学的な構造を元に縮重について議論することが出来ます. 教科書 12 章参照

14s3031: 
縮重していると性質も同じになるのでしょうか. M: 何と何が同じという話ですか? // 14s3030 参照

14s3032: 
多次元の波も波動方程式で表せるとのことでしたが, 四次元以上の波の波動方程式は何を意味するのでしょうか. M: 14s3015 参照

14s3033+: 
教科書の文中に出てくる「調和的に振動し…」は どのような振動ですか. また基準モードの式は何を基準にして, そう呼んでいるのでしょうか. M: 調和的な (harmonic) 振動というのは, フックのポテンシャルに従った振動運動のことです. またある振動を基本振動 (fundamental) とすると, それに対してその二倍三倍の振動数の振動のことを第二高調波 (second harmonics), 第三高調波 (third harmonics) などと言います.

14s3035: 
二次元の波の式において $ \DS G_{nm}$ や $ \DS T_{nm}(t)$ などの表記がありましたが, $ n$ と $ m$ の書く順にはどのような意味があるのでしょうか? M: 何かの順番と対応していなければ, 訳が分からなくなりますよね. §2.5 をよく読んで, 何が $ n$ で何が $ m$ なのか, 考えればいいのでは(?)

14s3036: 
p.53 に基準モードの時間依存性は振動数が $ \DS \nu_n = \frac{\omega_n}{2 \pi} = \frac{v n}{2 l}$ とありますが, これは経験的にそのようになっているのでしょうか. それとも, そのように定義されているのでしょうか. // $ X(x)$, $ Y(y)$, $ T(t)$ などを求めているときに, A, B, C, D... という定数を用いていましたが, これらは物理的になにかをあらわしているのでしょうか. M: p.51 の時間に依存する部分 (2.21) をきちんと解いてみればいいのでは(?) // p.49 の例題 2.4 をよく読んで勉強すればいいのでは(?)

14s3037: 
$ \DS \frac{1}{X(x)} \frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} + \frac{1}{Y(y)} \frac... ...2 Y(y)}{\partial y^2} = \frac{1}{v^2 T(t)} \frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}$ の式の各項が定数でなかった場合, どのような問題が起こるのでしょうか. M: 実際にそういう場を考えてみればいいのでは(?) // p.45 の　(2.5) 式の下の説明文の意味が理解できないのでしょうか?

14s3038: 
二次元の膜での節は線, 一次元の節は点であるのは理解できますが, 二次元より上の次元では節はどのように表されるのでしょうか? M: 本当に理解できているのか疑問. 14s3013 参照

14s3039: 
三次元の波動方程式の節は面になると予想されるが, その時の節が想像できないのですが, 何がどのようになった時に節と定義されるのでしょうか. M: 物理学の基礎を復習する必要がある(?) // 節とか腹とか, 基本中の基本をおろそかにして波の話を聞いていたとはビックリ. 数学や物理学の学力不足を感じたら, 自主的に補う勉強をしないのでしょうか?

14s3040: 
正方形の膜は振動としては異なるが振動数は同じという二重縮重があるが 立方体の膜を考えたとき, 正方形のときと同じように振動としては異なるが振動数は同じという三重縮重があると考えていいのですか? M: ``立方体の膜'' があいまい. 正方形の膜 6 枚を組み合わせて作られる立方体の形のことか, それとも三次元空間の一部分である (中身の詰まった) 立方体のことか? // 自分で考えて分からないのは, なぜか?

14s3041: 
三次元の波は音以外にも何か他にありますか. M: 自分で考えてみればいいのでは(?) 14s3002 参照

14s3042: 
今回二次元の波について主に教わり, 後半に三次元のお話もうかがいましたが, そのとき 4, 5 次元と拡張ができ, ですが その拡張したものがなにを表すかは難しいと おっしゃっていましたが, 値があるということは その環境自体は何らかの形で 存在することは不可ではないということですか? M: ``その環境自体は〜'' のところから, 意味不明. // 数式としては何次元でも拡張して考えることが出きることは分かると思いますが. では例えば x, y, z に次ぐ四番目の座標変数の物理的意味・現実的意味はどう考えたらよいのでしょう?

14s3043: 
ばねのような振動も同じように波動方程式で表現できますか? M: 14s3041 参照. 振動を表す式が波動方程式の解になっているか, 確かめてみればいいのでは(?) または, 物理の基礎の復習をするとか. 14s3033 も参照

14s3044: 
三次元の波動方程式ではおそらく直方体のような空間を取り, 8 点を境界条件として設定して計算するのだと思います. 実態を伴わないにしてもよ次元の波動方程式を想定した場合, 境界条件はどのように設定されるのでしょうか? M: 14s3024 参照

14s3045: 
二次元の波動方程式を考える時, 境界条件を x-y で[図は省略]考えていましたが, 「x-z」, 「y-z」 で境界条件を作ってはいけないのですか? M: 二次元で位置を表す変数として, あなたは何を使いますか? 14s3024 参照

14s3046: 
なぜ $ a \neq b$ の際は縮重しないのでしょうか. M: 縮重とはどういうことか, ちゃんと式を使って理解してください. 疑問に思ったケースについて, 手を動かして計算してください.

13s3001+: 
定在波ではない波を, なぜ定在波の重ね合わせで表現できるのですか. M: 講義でフーリエというキーワードを示しました. フーリエ級数で用いられる一連の三角関数は, 互いに直交しているというのがミソです.

13s3006: 
なぜ $ \DS \omega_{nm} = v \beta_{nm}$ となるのでしょうか. $ \DS \frac{1}{\beta_{nm}}$ は単振動に対応する円の半径を意味するのでしょうか. M: 14s3036 の前半も参照. $ v$ は波の伝わる速度であって, 単振動に対応する円運動の円周上の接線速度ではありません.

13s3012: 
境界条件は位置の次元の領域を指定していますが, 時間の次元についての境界条件 (のようなもの) が存在する場合もあるのでしょうか. M: なぜ時間の次元を (数式の上で) 特別扱いしなければいけないのでしょうか? 14s3023 のコメント参照 // 20150518 の 14s3026, 10s3008 参照

13s3025: 
電子のようにラベリングができない物が縮重しているとき, 振動の違いをどのように見分ければ良いのだろうか. M: ``物が縮重'' とか, 訳の分からないことを, 漠然とあいまいに考えるのではなく, 具体的な問題について考えてみてください. どういう状況のどの縮重のことですか?

12s3014: 
もし多次元の波が存在するとしたら, どのような事象が考えられるのか. M: 本気ですか? 一次元の弦の振動, 二次元の膜の振動, 三次元の音の伝搬, 等の例を講義で示して説明したのが, 全く理解されていないようで, 残念.

12s3024: 
三次元の波動方程式の節は平面で表されるのですか? M: 振動する円形の膜の節は直線か曲線か? あなたが考えている波の波面は, 平面か球面か? それとも全然違う形?? 14s3013 も参照

12s3029: 
次元には限りはないのですか? M: 正気ですか? もうどこまでさかのぼった復習が必要なのか, 見当もつきません.

12s3045: 
2 次元の波動方程式において a, b の値どちらか一方が極端に小さい細長い膜の時, $ a << b$ のようになって a がほぼ 0 に近くなってしまい, a を 0 と扱うようにするなどということはないのでしょうか. M: 必要だと思えば, そうすればいいのでは(?) 何かそれを禁止する, または逆にそうしなければいけない, という理由があるのですか?

11s3046: 
正方形と長方形の膜における違いは, これを三次元に拡張しても同様の結果になるのか. M: ``拡張しても同様'' とは, 何を意味しているのか? // 自分で考えて分からないのは何故か?

10s3008: 
縮重は 3 次元の波が実際にどういう動きをしているということですか? (どういう影響を与えている?) M: 二次元の波についての教科書の図のように, 自分で考えてみればいいのでは(?)


rmiya, 2015-07-29