構造物理化学 I (20150518) M: 以下は宮本のコメント
14s3001: 
オイラーの公式を用いて $ e$ を $ \cos\theta$, $ \sin\theta$ に変えて解きましたが, このとき $ \theta$ の範囲は指定しなくてもよいのでしょうか? また, 簡易にするために微分方程式で $ \DS X(x) = e^{\alpha x}$ とおきましたが このとき三角関数を用いて解くことも可能ですか? M: なぜ, どの範囲に, 制限する必要があるのでしょうか? // ``簡易にするため'' というのは誤解でしょう. 三角関数を用いて解けるかどうか, やってみればいいのでは(?)

14s3002: 
振幅 $ u(x,t)$ は古典波動方程式と境界条件を満たしていなければならないと教科書に載っていますが, もし, 弦の両端が固定されてなく境界条件を満たさなかったとき, 古典波動方程式にはどのように関わってくるのでしょうか. M: 何がやりたいんですか? 本気なんですか?? // 両端が固定されていない弦について扱いたければ, そういう境界条件を設定すればいい, と講義時間の初めに説明した. // $ x^2=1$ という方程式と $ x>0$ という条件がある時に, それを満たさない $ x=-2$ は方程式とどういう関係か?

14s3003: 
$ K<0$ のとき虚数がでました. 計算はできるにしても実数ではない数字を式で表現していいのですか? M: 数学の基礎の基礎を復習する必要があるのでは??

14s3005: 
物理学に関する本で微分方程式が出てくると, 大切そうな式はたいてい二階である気がします. 私の気のせいでしょうか. 理由があるとすれば何故でしょうか. // (+) 一般解の求め方「一次独立な 2 つの特殊解の線形結合をつくる」は, 微分方程式全てに通用する方法ですか. M: 一階の微分方程式は, 一回積分して簡単に微分を解消できちゃうからじゃないでしょうか. // 説明しませんでしたが ``線形'' という所が重要です.

14s3006: 
高校物理での波動といえばホイヘンスの原理がありますが, これも微分方程式によって解くことができるのでしょうか. M: 何を ``解く'' のでしょうか? 基本的に ``原理'' に理由はありません. 成立を天下り的に認めるものです.

14s3007: 
$ \DS e^{i x}$ と $ \DS e^{-i x}$ のような表現をオイラーの式を使って書き直すことは, 今回の例以外ではどのような時に使われますか? M: べつに. 使いたいとき, 使うと便利な時, 必要な時に使えばいいのでは(?)

14s3008: 
今回の講義で $ k$ は全ての実数ですか? 0 を除く全ての実数ですか? 後者でないと行列式の $ \Delta$ を考えたときに 0 じゃないと断言できないと思いますが. M: どうしてその場で質問しないのでしょうか? // どうして $ \DS K = k^2 < 0$ 等のもともとの設定を忘れるのでしょうか? // 言葉使いが変です. $ k$ は全ての実数じゃなく, 例えば $ \DS k = \frac{n \pi}{l}$ という決まった (限られた) 値です.

14s3009: 
$ K>0$ のとき, X(x) や T(t) に三角関数が使われず, $ K<0$ のときに三角関数が使われるのは, $ K<0$ の場合に虚数が出てくるのと何か関係していますか. M: オイラーの公式を使った説明を理解していただけなくて残念

14s3010: 
加速度と角振動数は同じ次元のようなのですが, 角が動くごとに振動数が変化するということですか. M: 滅茶苦茶ですね. 整理してじっくり考えてみればいいのでは(?)

14s3011: 
$ K=0$ の場合の一般解は, 境界条件の規定以上のことは表さないため無意味である, と理解しましたが, $ K<0$ の虚数が含まれた一般解は実際の弦の振動に当てはまるのですか? まず $ K<0$ → $ \DS \frac{1}{X(x)} \frac{\d^2 X(x)}{\d x^2} <0$ ということですが, 当てはまるとすれば, このとき弦はどうなっているのでしょうか? M: 今日の講義で $ K<0$ の場合に微分方程式を解いて関数を求めたし, 関数の意味も説明した通りですが, 全く理解していただけなかったようで残念です. また $ K=0$ についても誤解しているようです.

14s3012: 
$ X(x)=c_1 (e^{ikx} - e^{-ikx})$ がある瞬間の位置の関数とおっしゃっていましたが 境界条件が定まっているので, その点を除外した点を調べたい時に適用されるのでしょうか? M: 微妙に誤解している予感. なぜ両端を除外する必要があるのでしょうか? この式が両端の状態を表していないとでも(?)

14s3013: 
定係数の微分方程式で $ \DS X(x) = e^{\alpha x}$ とおくと, うまくいくことが分かりましたが, $ \DS X(x) = e^{\alpha x}$ とおけばよいということを どのように導き出したのか? M: 導き出した人に聞けばいいのでは(?) :-p

14s3014: 
$ K<0$ のときに振幅 T(t) を表す場合, $ \DS k' = v \sqrt{K}$ より, T(t) は複素数を含むということですか? M: 論理が滅茶苦茶です. 何をどう勘違いすると, T(t) が振幅になるのでしょうか? 実数も複素数に含まれますが, それは $ \DS k' = v \sqrt{K}$ が理由ではない.

14s3015: 
両端が固定されてなくて, 境界条件が無いときは, どのようにして求めるのでしょうか. M: べつに. 普通に求めればいいでしょ(?) // なお, 両端が固定されていないことと, 境界条件が無いことは, 別のことです. 20150511 の 13s3025 参照

14s3016+: 
$ K<0$ の場合の最後に, $ k' = v \sqrt{K}$ としていますが, ルートの中身が負というのは大丈夫なのですか? M: おっとっと, $ \DS v^2 K = -k'^2 (< 0)$ ですね. どうしてその場で指摘してくれなかったのでしょうか (;_;) しくしく

14s3017: 
ロンスキー行列式は二次以上の変数をもつ方程式の解の一次独立を確かめる際にも使えるのでしょうか. M: ``二次以上の変数をもつ方程式'' とは何ですか? 例えば三次方程式のことか?? // 数学の本を見ればいいのでは(?)

14s3018: 
特殊解がどのように特殊なのかわかりません. M: そうですか. しかし, 質問になってません. // 講義で一般解の任意定数が特定の値に定まったものだと説明したのが伝わっていなくて残念.

14s3020: 
$ K>0$ において $ \DS X(x) = c_1 e^{k x} + c_2 e~{-k x}$ となりました. $ X(0) = X(l) = 0$ をあてはめた時, $ \DS c_1 = -c_2$, $ \DS c_1 e^{k x} + c_2 e^{-k x} = 0$ となり $ k \neq 0$ なので $ \DS c_1 = c_2 = 0$ が解になると考えました. この時, 弦はどのような状態なのでしょうか. M: 講義で $ K=0$ の場合の解について解説したのに, $ K>0$ の時の解について自分で考えられないのは, 何故でしょうか?

14s3021: 
$ K>0$ の場合の時 $ \DS \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - k^2 y(x) = 0$ を解くとき経験によって定係数の線形微分方程式の解を $ \DS y(x) = e^{\alpha x}$ としていましたが, 経験がなければ, 解けないのですか? M: 視察により解の形を予想しても良いです. または 14s3013 参照

14s3023: 
今回はとても難しく, 復習しようと思いました. $ X(x) = e^{\alpha x}$ とおくのは, そのようにきめられているのですか. M: さあ, そんな決まりがあるのか, 私は知りません. 14s3013 参照

14s3024: 
X(x) は未知関数であるのに $ X(x) = e^{\alpha x}$ とおくのは計算に都合がいいからなのですか. それとも $ X(x) = e^{\alpha x}$ とおかなくてはならない理由があるのですか. M: 14s3021 参照

14s3025: 
p.48 に $ \DS y(x) = c_1 e^{i x} + c_2 e~{-i x}$ とありますが, なぜ三角関数である sin, cos を使ったオイラーの式を用いているのですか? この式を使った時の良い点があるのか? M: 数行下に ``ふつうは〜便利である'' と書いてあるが, この意味が理解できないということか?

14s3026: 
今回は境界条件を $ X(x) = X(l) = 0$ [原文ママ]でやりましたが, 他にも色々な条件が考えられるということでしたが, X(x) の式は変化すると思いますが T(t) も変化するのですか. M: べつに, T(t) に境界条件を与えればいいのでは(?)

14s3027: 
$ K>0$ の場合の k を求めようと思ったのですが, 私が計算した限りでは $ k=0$ となってしまいました. ということは, $ K>0$ の場合は無意味である, ということでいいのでしょうか. それとも意味のある解が存在するのでしょうか. M: それ以前に, 前提 $ K = k^2 >0$ と結論 $ k=0$ の間に矛盾があります. それを無視した議論は非論理的です.

14s3028: 
なぜ, $ K<0$ の場合のみ, T(t) が 2 つ出てきたのかが気になった. なぜですか? M: 何のことでしょうか? どんな二つが出てきたというのでしょうか??

14s3029+: 
ある瞬間の位置を表す式が時間によらないのはどうしてですか. M: ``ある瞬間の位置を表す式'' と言った覚えは無い. これはこれで間違い. 講義で言ったのは ``ある瞬間の変位'' で, これよりも ``(変位の) 時間に依存しない関数部分 (因子)'' という方が正確でしたが, 理解しやすさはどうでしょうか?

14s3030*: 
どうして $ \DS (\alpha^2 - k^2) X(x) = 0$ [原文ママ]を解き, $ \alpha = \pm k$ となったら $ X(x) = c_1 e^{k x} + c_2 e^{-k x}$ なのですか. ( $ \DS e^{k x}$ と $ \DS e~{-k x}$ が互いに一次独立であるとき.) M: 得られた X(x) が元の微分方程式の解になっていることは, 容易に確かめられます. それ以上のことは, 数学の本を見て勉強すればいいのでは(?)

14s3031*: 
より一般的な解 今回求めた解とどのように異なってくるのでしょうか. M: 最後の説明が駆け足になってしまいました. 講義中に求めた ``一般解'' は, ある一つの特定の振動数で振動する解です. 最後の ``より一般的な解'' は, 同じ言葉を使用してしまっていますが, 微分方程式の一般解の意味ではなく ``(特定の振動数の振動に限らず, より一般的な) 弦の任意の振動'' の意味です. 弦の上の任意の波の波形は, 単一の正弦関数ではありません. 例えば弦による同じ音程の音でも, 現実には楽器や演奏者により音色の違いがあるわけで, そこまで拡張された波の形を表す式の話です. (フーリエと唱えよう)

14s3032: 
特殊解から一般解を求めましたが, 特殊解も一般解も同じ X(x) の解ととらえて良いのでしょうか. M: 意味不明, ``X(x) の解'' とは?? (3 は 2x+1 の解か?) // さらに ``同じ X(x) の解'' となると, さっぱり意味がわからない.

14s3033+: 
式 (2.17) などに虚数が出てきますが, 弦の位置が虚数ということは何を表しているのでしょうか. M: 具体的に, どこで ``弦の位置が虚数'' になっていましたか? 現実の系で, 弦の変位を測定したとして, 虚数になることがあるのか??

14s3035*: 
普段の生活では虚数 i を見かけないので, それを含む関数が普段目にする現象を表すことがイメージできないのですが, そうではなく, 虚数を用いれば現象を説明できるから i が関数に含まれているのですか. M: imaginary number をイメージできないとは?! :-) // 古典的には計算過程の便法という見方もあるが. 14s3033 参照 // 量子論的には複素数が自然の本質であると言わざるをえない.

14s3036: 
$ K>0$ のとき, $ K<0$ のときどちらも $ \DS X(x) = e^{\alpha x}$ とおいていましたが, 他のものでおきかえることは可能でしょうか. M: 例えばどんな? 自分で色々とやってみればいいのでは? // 何のためにそう置いたのか?

14s3037: 
A は弦を弾くときのひっぱる高さで決まるということでしたが, A の値を直接はっきり定める以外で条件式として定める方法はあるのでしょうか. M: 直接はっきり定める (って何だ?) $ A=10$ も, (ある種の) 条件式なのでは?? 他にもどんな方法があるか, 参考書を見たり自分で考えたりすればいいのでは?

14s3038: 
$ \DS T(t) = d_1 e^{i k' t} + d_2 e^{-i k' t}$ について, 虚数 i が含まれている場合, ある瞬間の変化のグラフを表わすことができるのですか? 式 (2.8) で $ K=0$ のとき無意味な解しか得られないということは, $ K=0$ の場合は何も考えなくてよいということですか? M: 具体的に, ある瞬間のグラフを描いてみればいいのでは? // ``無意味な解'' は, 弦のどんな状態をあらわしていたか? それを考えなくてよいのは, どんなときか? 逆に, 考えなければいけないのは?

14s3039: 
特殊解が得られた時, どのような場合であったも[原文ママ]ロンスキー行列式によって一次独立かを調べることができ, 一般解を求めることができるのでしょうか. M: 全称命題としての問いには厳しいものがあるネ. 数学の本を見てよく勉強してください.

14s3040: 
もし時間にも境界条件があるとしたら基準モードは定在波ではなくなるので p.52, 図2-3 通りにはならないことになるのですか? M: 時間部分 (因子) T(t) に対する境界条件とは, 具体的にどんなものだと思っているのでしょうか? どうして時間に境界条件があれば基準モードは定在波でなくなるのですか??

14s3041*: 
今回授業で扱った $ X(x) = e^{\alpha x}$ の $ \alpha$ の解は $ \DS e^{k x}$ と $ \DS e^{-k x}$ で一次独立であったが, もし, 特殊解が一次独立でなかった場合, どのようにして一般解を求めるのですか. M: まず誤解があるようだが, $ \DS \alpha \neq e^{k x}$ である. // 定数変化法を用いる. 詳細は数学の本を参照

14s3042: 
両端を固定するとして, その位置を 0, $ l$ とされていましたが, 実際に $ l$ に実数を与えた時, その位置が固定されているということを表わせるのですか? M: いまさらな質問にびっくり. 教科書 p.46 を読んでも理解できないのでしょうか?

14s3043: 
$ \DS K=k^2$ とおくのは, $ \DS (\alpha^2 - k^2) e^{\alpha x}$ の形を作るためですか? M: 実数 $ k$ を用いれば, $ \DS k^2>0$ であることを利用すると講義で説明したのに, 伝わっていなくて残念.

14s3044: 
計算の結果, 虚数が解に入っていた場合, その解の物理量はどのような物になるのでしょうか? M: 14s3033 参照 // 14s3035 の最後のコメントも参照

14s3045: 
波動方程式の一般解を求める時, 同時にその解が一次独立であるかないかを確認しなくてはいけないのは何故ですか? M: 一次独立でないものの線形結合を作って, 二つの任意定数を含む解 (一般解) ができるか?

14s3046: 
式を考える際, 長方形の膜をとらえていましたが平面だけを考えていると思うのですがこれで空間を表わしているのでしょうか. M: 講義では未だそんな話はしていませんが?? // ``これで空間を表わしている'' とか, わけ分かりません.

13s3006: 
定係の[原文ママ]微分方程式を解く際に, 指数関数の底に e を用いているのは, 単に微分しても対数が出ないからでしょうか. どんな指数関数 (例えば $ \DS 2^{\alpha x}$ とか) においても式を満たす解は得られるのでしょうか. M: (例えば $ \DS 2^{\alpha x}$ とか) 自分でやってみればいいのでは?

13s3025: 
電子を弦のような波動と考えたとき, 振幅は存在確率を示すものと見なされるのか? それとも結果的にそこへ生じる正味の負電荷を表すのだろうか? M: 弦は波動ではないことに注意. // 勉強すればわかるのでは(?)

12s3024: 
特殊解と無意味な解の違いはなんですか? M: 後者は前者に含まれる. 教科書や参考書をよく読めばいいのでは(?)

12s3045: 
物理的に意味のある解において, n は整数とあるが $ n=-1, -2, -3, \dots$ のときは, X(x) がそれぞれ $ n=1, 2, 3, \dots$ の場合の定数倍となるので除外という形にすることはできませんか. M: 境界条件, 特殊解の形に依存する話でしょう.

11s3046: 
定在波でないときも, 同じように考えることができるのか. 境界条件はどのように考えればよいか. M: 一般の波については, 基準モードの重ね合わせ (線形結合) で表現される. あなたがどんな波について考えたいのかに応じて, 具体的な境界条件を決めればいいのでは(?)

10s3008: 
境界条件を満たす解を求めてから初期条件を求めるのと, その逆の手順では操作に違いはありますか? M: 質問の意味不明. 初期条件を求めるとは?? // 境界条件と初期条件は, 何が違うのか?


rmiya, 2015-07-29