構造物理化学 I (20150511) M: 以下は宮本のコメント
``微分方程式'' というなじみの薄いものが登場しただけで, みんな目を回しているような状況か(?) そもそも何をやりたかったのか? そのための道具が微分方程式だというだけなのに... (問題解決のために適切な道具を使うだけでしょ)

14s3001$ -$: 
式2.5 において, 左辺は x だけ, 右辺は t だけの関数として表されましたが, x と t は任意に変化できるので, 式2.5 の両辺はそれぞれ独立に変化できるということですか? M: そういう説明を講義中にしたのに, 伝わっていなくて残念. // 確認の質問にどんな意味があるのか? // 独立に変化できるにもかかわらず常に両辺は等しいので, 定数であるとしか考えられない.

14s3002: 
古典的波動方程式は変数分離法で解けると聞きましたが, 両辺が等しいことを証明する分離定数 K の分離とはなにを表しているのですか. 変数分離方だからでしょうか? M: 言葉遣いが変テコ. K は何も証明していないが(?) // ``変数分離'' の意味が分からないのか(?)

14s3003: 
今回の講義では, 時間 (t) と長さ (x) から, それぞれの要素に切りわけたということですが, 結局定数と単に名前を変えただけで, まだ 2 つの要素あるような気がします. この時 K をどのように考えれば良いのですか? M: 理解不十分な予感. ここでの K は単なる ``分離定数'' ですけど(?) 何が不満なのか?

14s3005: 
微分方程式を立てる時には, 常にニュートンの運動方程式を使うのでしょうか. M: 微分方程式で何をしたいのか? 何についての微分方程式なのかを考えればいいのでは(?)

14s3006: 
偏微分方程式を解くときには, 物理的な考えで見出すことのできる境界条件が必ず伴うのですか. M: 微分方程式で何をしたいのか? 14s3029 参照

14s3007: 
何の物理的な意味も持たない無意味な解というものが教科書にありましたが, 今回の話以外にもたくさんでてくるものなのですか? M: ``n cfpawe cma'' という文字列は, 何の物理的な意味も持たない無意味な文字列です :-p

14s3008: 
偏微分は 2 変数以上の式の微分のことたと分かりましたが, なぜ偏微分という名前がついたのでしょうか? M: 名付けた人に聞けばいいのでは :-p ちなみに英語では partial differentiation とか partial derivative などという.

14s3009: 
講義ではふれませんでしたが, 教科書で, シュレーディンガー方程式の背景には海洋の波などのような古典的な波動力学があり, また不確定性原理にも矛盾しないとありました. 不確定性原理は巨視物体に対して意味をなさないのにシュレーディンガー方程式が海洋の波のような巨視的で, 古典波動力学であるものが背景にあるというのは矛盾していませんか. M: ``背景にある'' という言葉が何を意味するか, よく考えてみればいいのでは(?) // p.43 とか p.80 とかをよく読めばいいだけでは(?)

14s3010: 
$ K=0$ のときの値を計算したら, $ \DS a_1=0$, $ \DS b_1=0$ となり, $ X(x)=0$, $ u(x,t)=0$ となりました. これは任意の点 x が全て 0 で, 変位が全て 0 ということだと思うのですが, $ K=0$ は不適な値と考えていいのでしょうか. M: ``任意の点 x が全て 0'' のところが意味不明. 14s3020 参照

14s3011: 
$ \DS \frac{1}{X(x)}\frac{\partial^2 X(x)}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2}\frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}$ のとき, x が決まれば左辺は定数となるから, どんな t でも定数であるというのが, 両辺とも定数に決まることにつながるのが なんとなくしかわかりません. x が決まった時, t も決まる, という事ですか? M: いいえ. 14s3001 参照

14s3012: 
正・負・零の場合分けの時に $ K=0$ しか授業では解かなかったのはその後の境界条件まで式を導くためで, 正・負では不適だからですか? M: いいえ. 予習不足ですね.

14s3013: 
授業中にもありましたが, 古典的波動方程式を変数分離法で解けない場合, 他に解く方法はどのようなものがあるのですか. M: 何かの勘違いでは(?) ``変数分離法で解けない場合'' などという話は, 講義中にしていませんが(?) 因数分解された形の解が得られれば, 他にどんな解があろうが関知しないと講義で説明したのに, 理解していただけなくて残念. // 変数分離法以外の解き方はあるかもしれないが, 私は知りません. 数学の本を見て勉強してわかったら, 教えてくださいネ.

14s3014: 
弦の両端を固定された場合の式を示されたが, さらに別の 1 点を固定した式を示すことも可能だろうか. M: 教科書および講義で示したものは両端を固定した弦の物理だが, それ以外のものをやりたければ, ご自由にどうぞ. 14s3029 参照

14s3015: 
波動方程式を変数分離法以外の方法で解くやり方はありますか. M: 14s3013 参照

14s3016: 
シュレーディンガー方程式が線形 2 階の方程式であるということは, 1 次元方向の運動しか表すことができないということですか? M: いいえ, 全然違います. ``線形'' とか ``2 階'' の意味を理解していない予感.

14s3017: 
今回は変数が 2 つの場合を考えましたが, 3 つ以降の場合, 1 つの変数だけで, 関数を表すことはできないのではないでしょうか. M: いいえ. 教科書や参考書を見れば良いのでは(?)

14s3018: 
波動方程式は物理化学において, 時間変化に対するエネルギー等の変化がわかる式なのですか? M: 物理学の基礎を復習するか, または教科書 §5.1 をよく読めば良いのでは(?)

14s3020: 
$ K=0$ の場合, $ \DS a_1 = b_1 = 0$ であると考えました. この時, 弦はどのような状態なのですか? M: 弦の変位は $ u(x,t) = 0 \cdot T(t) = 0$ となりますね. 静止した弦も弦. ただしつまらない解だが.

14s3021: 
ハイゼンベルクの方法は行列を使い, シュレーディンガーの方法は偏微分方程式を使って一般的な量子論を定式化し, 二つの方法が数学的に等価であるとされていましたが, 2 つの式はまったく違うのになぜ等価であるといえるのですか? M: ``等価'' の意味を誤解している. どちらの表記であっても, 数学的な構造は等価である. // 教科書や参考書で勉強し, 量子力学をもう少し深く理解すればわかるのでは(?)

14s3022: 
今回偏微分方程式を解くのに変数分離法を使いましたが, 上手くいかない場合はどのような方法があるのですか. M: 14s3013 参照

14s3023: 
予習の段階では全然理解できなかった変数分離法がわかりやすくて理解できました. ただ, (2.4) の両辺を $ u(x,t)=X(x)T(t)$ で割る理由がわかりませんでした. どのような思考でそのように至ったのでしょうか. M: 変数分離法を考え出した人に聞けばいいのでは :-p // 割った結果を見れば, ``割る理由'' は明らかでは(?)

14s3024: 
今回の波動方程式は弦を伝わる波を例にしていますが, 他の波の場合も今回と同様の解き方で解けるのですか. それともまた別の方程式が存在するのですか. M: 方程式の種類について聞いているのか, それとも ``波動方程式'' の解き方について聞いているのか?

14s3025: 
今回の講義で, 式がたくさんでてきましたが, 最初の $ \DS \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$ とありますが, 図2.1 からどのように式をたてるのですか? // $ \partial$ の記号は偏微分だけで使うものですか? M: 物理の本を見れば良いのでは(?) // 他で使われているところがあるか, 調べてみればいいのでは(?)

14s3026: 
分離定数について場合わけしましたが, 具体的な値は求めれるのですか. M: 14s3012 参照

14s3027+: 
$ \DS \frac{\d^2 X(x)}{\d x^2} = 0$ を解くとき, 私は $ \DS X(x) = a_1 x$ とおいたのですが, 調整することを考えたら, 項数は多いほうがいいのでしょうか. M: いいえ. そもそもあなたはその解をどのようにして見つけたのでしょうか? 講義でも説明したとおり, 微分方程式の解き方の基本は積分です. 2階の微分方程式は 2 回積分して原始関数を求めることになりますから, 積分のたびに任意定数が出てきて, 結局解は積分の回数 (方程式の階数) だけ任意定数を含むことになります.

14s3028: 
なぜ振動する弦の微小部分の運動方程式をたてる時に常微分ではなく偏微分を使うのか? M: 14s3038 参照

14s3029+: 
(2.1) 式で両端が固定された弦の挙動を考える際には境界条件を設定する必要がありますが, そうではない波を考えるときは, 境界条件は必要ないのでしょうか. または別の条件を考える必要があるということでしょうか. M: 例えばどのような別の波を考えるのでしょうか? その波が ``両端が固定'' とは異なり ``○○である'' ことを, どのようにして表現したらいいでしょうか?

14s3030: 
式 (2.1) では $ \partial$ が使われて (偏微分), 式 (2.4) では $ \d$ が使われて (常微分) いるのは変数 x, t を分けたためですよね. あと, (2.1) 式を (2.8), (2.9) 式へ変形させたのは x, t 以外に変数が存在しないことも確かめるためなのでしょうか. (変数分離法で解くためという理由の他に) M: 前半について, 他人に yes/no を言ってもらう事に何の価値があるのですか? // 後半について, どうやったら確かめることができるのでしょうか?

14s3031: 
今回あつかった式が $ f(x,t)$, x, t の三次元で表わされる意味がわからないです. M: 質問になっていません. // $ y=f(x)$ を y, x の二次元で表わすこともわからないのでしょうか?

14s3032: 
$ \DS$lhs$ = \frac{\partial^2}{\partial x^2} X(x)T(t)$ の右辺を求めるとき, 途中の $ \DS \frac{\partial T(t)}{\partial x}$ がゼロになるのはわかりますが, $ \DS \frac{\partial T(t)}{\partial t}$ がゼロになるのはなぜでしょうか. M: なぜその場で質問しなかったのでしょうか? // てゆうか, そんなこと言ってませんけど, 何かの勘違いでは?

14s3033: 
式 (2.1) の古典的歩道方程式とシュレーディンガー方程式の違いはなんですか. M: 見比べれば分かるのでは(?)

14s3034: 
因数分解できない解がでる場はどうやって, 微分方程式を解くのでしょうか. M: 14s3013 参照

14s3035: 
時間によって弦は変形していると思いますが, そのとき張力 S は時間 ｔ によって変化しないのでしょうか (S は t の従属変数とならないのでしょうか). // 偏微分の $ \DS \frac{\partial}{\partial x}$, $ \DS \frac{\partial}{\partial t}$ は変数分離した後は常微分の $ \DS \frac{\d}{\d x}$, $ \DS \frac{\d}{\d t}$ に書きかえられるのでしょうか. M: そりゃ変化するでしょうね. たとえばフックの法則に従う力の場合について, 教科書 §5.1 参照. // 14s3028 参照

14s3036: 
分離定数が正・負・零の時, 物理的に意味していることはなにかあるのでしょうか. M: 時と場合による. 14s3012 参照

14s3037: 
(2.5) のような式は x か t の一方の値を固定すればもう一方の値が定まるということでよいのか. M: いいえ. 14s3001 参照

14s3038: 
偏微分と常微分の違いは変数の数が違うということだけなのですか? ある $ f(x,t)$ について変数 t を定数とみなすと $ \DS \frac{\d f(x)}{\d x} = \frac{\partial f(x)}{\partial x}$ となり, 偏微分と常微分が同じものになってしまいませんか? M: ``変数の数が違う'' という理解は, 少しだけピントがずれていると思われます. 講義で両者の違いを説明したのですが, 理解してもらえなくて残念. ``変数 t を定数とみなす'' というのは, どういうつもりなのでしょうか. これが偏微分の要ですが...

14s3039: 
$ u(x,t) = X(x)T(t) \neq 0$ を仮定して, 方程式の両辺を割りましたが, $ u(x,t) = X(x)T(t) = 0$ のときの波動方程式の解を知りたい時は, どう求めればよいのでしょうか. M: その場合, 解 $ u(x,t)$ は自明です :-)

14s3040: 
変数の数が 2 個以上ある, 多変数の微分方程式で, 変数分離法を用いて解くと 2 個の変数のときに用いたようにきれいに各変数ごとに分離された, 多数個の微分方程式は得られるのですか? M: 人に聞く前に, まず自分の手を動かしてやってみればいいのでは? 14s3017 参照

14s3041: 
偏微分方程式を解いて, 振動する弦の運動のし方を求めることは, どのような意味があるのでしょうか. M: 何を期待しているのか, 何に困っているのか, 理解できません. 知りたかった ``弦の運動の仕方'' が分かったという意味があります.

14s3042: 
波動方程式を考える際に, 講義でお話された方法以外に行列などもあるとおっしゃっていましたが, どれか 1 つの考え方のみでは考えられない事象が出てくるのですか? M: 微妙に誤解の予感. 第二章のはじめ p.xx をよく読めばいいのでは(?) // 原理的には, 1つの表記法で不足は無いと思われます. ただし人間のやることですから, 現象を理解しやすい表現方法というのは, 場合によって異なる可能性があるでしょう.

14s3043*: 
$ u(x,t)$ を x で 2 回偏微分した式はどんな物理量なのですか? また $ u(x,t)$ を t で 2 回偏微分したものは加速度を表しているのですか? M: 数式が表現しているものについてのイメージを持つことは, とても重要です. 一般に座標で 2 回微分したものは曲率, 時間で 2 回微分したものは加速度と考えられますネ :-)

14s3044: 
宮本T が黒板に板書していた式では偏微分でしたが, 教科書の同じ数式では常微分で書かれていました. 偏微分を常微分だと意味が通じなくなるのでダメですが, 本来常微分で書くべき部分を偏微分で書いて何か不都合はありますか? M: 本当はこだわるべき所なのかもしれません. 数学の本できちんと確認しておいてください.

14s3045: 
授業内で, $\DS \text{\uwave{ lhs }} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} X(x)T(t)$, $\DS \text{\uwave{ rhs }} = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{1}{v^2} X(x) \frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}$ をやりましたが, この「lhs」と「rhs」とは何なのですか. M: どうしてその場で質問しなかったのでしょうか? 分からなければ辞書を見れば良いのでは(?) lhs は left hand side の, rhs は right hand side の, それぞれ頭字語です.

14s3046: 
波動方程式を求める際に両端が固定された条件で考えていましたが, 片方だけが固定されている場合では成り立たないのでしょうか. M: 14s3029 参照

13s3001: 
変数分離法で $ u(x,t)=X(x)T(t)$ と仮定しましたが その仮定の正誤はどうやって確かめることができますか? M: 14s3013 参照

13s3006+: 
波動方程式は変数分離法で解ける場合が多いとありますが, 偏微分方程式自体が上記の方法で解ける場合が多いのでしょうか. M: 統計を取ったことが無いので, どういう場合が多いかは知りません. しかし物理学では, よく知られている形の方程式に帰着させるということは, よく行われます. 言い換えれば ``物理学では解ける問題を解く'' と.

13s3012: 
左辺および右辺を lhs, rhs と書いていましたが, l, r はともかく hs は何の略でしょうか? 直訳なら 右辺=right side, 左辺=left side ... ? だとすると h は何なのだ... M: 本当に直訳(?) 辞書を見れば良いのでは? // 14s3045 参照

13s3025: 
境界条件が無い場合, 境界上に粒子は存在できることになるのだろうか. M: ``境界条件が無い'' とはどういう状況か, よく考えてください. 例えば $ \DS u(x=0, t=0) = u_0 (\neq 0)$ ではありませんヨ.

12s3014: 
常微分と偏微分はそれぞれどういう場合に行うのか. M: 14s3038 参照

12s3024: 
変数が複数ある方程式を解くのは, 偏微分以外でも可能ですか? M: 何をやりたいのでしょうか? 未知数 x, y について, $ x + y = 4$, $ 2 x + 4 y = 10$ の二つの方程式からなる二元連立一次方程式も, ``変数が複数ある方程式'' ですけど(?)

12s3045: 
微分方程式を解く際の因数分解できるかどうかの判断材料というのは式の中にあったりしないのでしょうか. 実際に解いてみないとわからないのでしょうか. M: 14s3013 参照

11s3046: 
1 次元を 2 次元に, 2 次元を 3 次元に拡張して考えることが可能なら, 3 次元を 4 次元に拡張して考えることも可能なのか. パラメーターはどうなるのか. M: 何の話でしょうか? 教科書をよく読めば良いのでは(?)

10s3008: 
変数分離法で波動方程式を求めた時, 実際の測定値との誤差は一様ですか? それとも不規則的に誤差は変化しますか? M: 何をどうやって測定するのか. 誤差論の本を見れば良いのでは(?)


rmiya, 2015-07-29