構造物理化学II (20131009) M: 以下は宮本のコメント
12s3001: 
(6.30) 式と Condon & Shortley の式では, なぜ $ (-1)$ がつく, またはつかないという違いが生じてしまったのか. M: 著者に聞くしかないのでは(?)

12s3002: 
ルジャンドル方程式で $ m=0$ のときの式の解はルジャンドル多項式というが, $ m \neq 0$ でないときにルジャンドル多項式で示せないのはどうしてか. M: ルジャンドル多項式から派生した陪関数で表せていますけど(?)

12s3003: 
ルジャンドル陪関数が変数 $ \theta$ で表された場合, なぜ, 表6.2 の $ (1 - x^2)^{1/2}$ の因子が $ \sin \theta$ になるのか. M:  $ (1 - \cos^2 \theta)^{1/2}$ の計算について, 三角関数を復習すべきでは(?)

12s3004*: 
ルジャンドル多項式の解やルジャンドル陪関数が直交していなければいけないのは どうしてなのか? M: いくつかの例が直交していることは, 簡単に確かめられる. それを越えて, なぜ直交しているかと問われれば, そういう風に多項式を作った, というのがひとつの答えか(?) 関数系列として直交しなければいけないかどうかは, 私は知らない. しかし直交系であれば, 色々と便利ではありそうだ. 物理数学関係の本を参照.

12s3005: 
水素原子以外の原子も球面調和関数を応用できて解くことができるのか. M: 20131002 の 11s3028 参照

12s3006: 
球面調和関数はどの原子においても成り立つのか. M: 12s3005 参照

12s3007: 
量子数が $ m$ と $ l$ であるが, 変数が 2 つになったことは物理的にそれぞれの値を変える要因が 2 つになったということですか. またその要因は何ですか. M: 意味不明. 論理破綻の予感

12s3008: 
式 (6.31) のどの部分から, $ Y_l^m(\theta, \phi)$ が球の表面にわたって規格化直交している とわかるのですか? M: `` $ Y_l^m$ が規格化直交している'' とは どういうことか? 積分範囲に注目.

12s3009: 
ルジャンドル多項式とルジャンドル陪関数で わかることはそれぞれちがうのか. M: モノが違うのだから, 違うコトについて分かるか, または同じコトについて (結果が違うと) 分かるか, etc. 可能性は色々.

12s3010: 
例題 6.5 で $ \theta$ の部分は $ e^{i \phi} (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)/\sin\theta$, $ \phi$ の部分は $ -e^{i \phi}/\sin\theta$ となる, とはどういうことですか? M: 言葉どおりでしょ. 自分の手を動かして計算してみればいいのでは(?)

12s3011: 
$ Y_l^m(\theta, \phi) = \left[ \frac{l + 1}{4 \pi} \frac{(l - \ver... ...ert m\vert)!} \right]^{\frac{1}{2}} P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta) e^{i m \phi}$ のとき $ Y_l^m$ が規格化直交系になっているのはなぜですか? M: なっていない. 計算してみれば分かるのでは(?)

12s3012: 
今やっていることはほぼ数学的であり物理学であるが 化学的意味を持つことはあるのか. M: 原子オービタルの形に化学的意味はないんですか? 例えば, オービタルの形を知らずに, s と p の混成オービタルの方向を, どうやって考えるのか? エネルギーレベル抜きで, スペクトルをどう理解するのか?

12s3013+: 
角運動量の 2 乗が量子化されていると, 水素原子の電子は どのような運動をするのか. M: それらは波動関数で記述される (p.126, 仮説1 を参照)

12s3014: 
ルジャンドル方程式は水素原子のどのような状態を表すのか. M: 誤解の予感. 方程式は状態を記述していない.

12s3015: 
$ Y_l^m(\theta, \phi)$ から, 球面の表面に規格下直交するということは, その球の大きさも分かるということですか. M: 意味不明. 激しく誤解の予感

12s3016: 
ルジャンドル多項式やルジャンドル陪関数を満たす $ \theta$ を求めることにより, 何がわかるのか. M: 意味不明. ``ルジャンドル○○を満たす $ \theta$'' とは, 何のことか?

12s3017: 
ルジャンドル方程式は化学的に扱うことはできるのか? M: 意味不明. 方程式を化学的に扱うとは, どういうこと?

12s3018: 
角運動量の二乗が量子化されているのは電子のエネルギーが量子化されていることと関係あるのか. M: あるかもしれないので :-) 自分で考えてみればいいのでは(?)

12s3019: 
球面調和関数で, $ Y_1^1 + Y_1^1$, $ Y_1^1 - Y_1^1$, $ Y_1^0$ が それぞれ $ p_x$, $ p_y$, $ p_z$ 軌道を表すのはなぜか. // マッカーリ・サイモンよりも, Condon & Shortley の式を使った方が良い場合というのはありますか? M: 勘違いの予感 // あるという説明をしたのに伝わっていなくて残念 (;_;)

12s3020: 
式 (6.38) について, $ \hbar$ が量子力学系における角運動量の尺度になっていることは注目に値する, とありますが $ \hbar$ が尺度になることによるメリットはなんですか. M: 私は知りません. 自分で考えてみればいいのではないでしょうか. ``メリット'' とは... あなたは物理量・物理定数に優劣があると考えているのでしょうか(?)

12s3021: 
球面調和関数が角運動量の 2 乗であったり, 波動関数は意味をもたないのに 2 乗することで粒子の存在確率を表したり, なぜ 2 乗することでそれぞれが意味のある大事なものになるのか. M: 一部に事実誤認を含む予感. 観測選択効果でしょうか :-p

12s3022: 
$ l$ や $ m$ は大きくなっても球体にしかならないのか. M: 何の話か, 意味不明

12s3023: 
球面調和関数で得られる x, y, z の値は, デカルト座標系を用いても同じ値が得られるのですか. M: ``球面調和関数で得られる x, y, z の値'' とは, 何のことか?

12s3025: 
球面調和関数が s 軌道, p 軌道に関係してくると言っていたが どのように関係してくるのでしょうか. M: 第 6 章のもう少し先を読めば分かるのでは(?)

12s3026: 
ルジャンドル多項式の解で l の数と偶感数・奇関数とが関係しているのはなぜか? M: ルジャンドル方程式を解く過程を勉強すればわかるのでは(?)

12s3027: 
ルジャンドル多項式, 陪関数の $ l = 0, 1, 2, \dots$ および $ m = 0, \pm1, \pm2, \pm3, \dots$ は無限に続くものなんですか. M: $ l$ と $ m$ に対する制限は, 説明したつもりだったのだが, 伝わっていなくて残念 (;_;)

12s3028: 
ルジャンドル方程式は古典物理学ではよく知られたと記載されているが 今の物理学では重要視さてれいないのか. M: 量子化学の問題に登場してくるのに(?) // そもそも ``古典物理学'' を誤解している予感

12s3030: 
ルジャンドル多項式では $ m \neq 0$ の場合がないのはなぜか. M: 定義から自明, というか, 論理構造を理解していない (?)

12s3031: 
$ ^2$H (重水素) のような水素の同位体を考える場合, シュレーディンガー方程式を解く上で水素原子と比べて違うところはありますか. M: 20131002 の 12s3005 参照

12s3032: 
ルジャンドル多項式はどのようにして求めたのですか. 式 (6.23) の変形だけで求められるものなのですか. M: 高度な参考書を参照するようにと講義中で述べたのだが, 伝わっていなくて残念 (;_;) 後半は微分方程式の解をどうやって求めるかという問題を誤解している予感.

12s3033: 
$ Y_1^1 + Y_1^{-1}$, $ Y_1^1 - Y_1^{-1}$ の式は どのような事を表わしているのですか. M: 別に, 和と差. あるいは, 12s3025 参照

12s3034: 
$ Y_l^m(\theta, \phi)$ が単に d$ \theta$d$ \phi$ ではなく $ \sin \theta$d$ \theta$d$ \phi$ に対して規格化直交しているというのは 単純に体積も考えるということか. M: 意味不明. 体積とは何か?

12s3035: 
多電子原子と違い, 水素原子の波動関数にスピンは影響していませんが, 核電荷との相互作用などはないのでしょうか. M: 意味不明. 何と核電荷との相互作用の話か? そもそもハミルトニアンには核によるクーロンポテンシャルの項が含まれている.

12s3036: 
角運動量が量子化されている意味はなんなのか? M: 11s3031 参照

12s3037: 
$ Y_l^m$ が規格化直交系であることは, どうしてわかるのですか. M: 自分で計算してみれば分かるのでは(?)

12s3038: 
水素原子以外でも球面調和関数を用いることのできるものは存在しますか. M: 12s3005 参照

12s3039: 
水素原子以外の原子の場合でも球面調和関数を用いることができるのか. M: 12s3005 参照

12s3040: 
関数の $ \theta$ についてのやつで, どうして解?を統一しないのか. 統一して何か大きな不都合が生じるのか. M: どうやって意思統一するのでしょうか? 従わない場合にはどう対処すればいいのでしょうか? // 意見が分かれるときには, どのようにすればいいのか?

12s3041: 
ヒッグス粒子が見つかったとニュースになっていますが, この物質に質量を与える粒子であるヒッグス粒子に期待していることはありますか? M: 誰の何についての期待の話か?

12s3042: 
水素原子の角運動量は水素原子の状体[原文ママ]によって考わる[原文ママ]ものなのか. M: 意味不明 // そもそも水素原子の状態を, どうやって区別しますか?

12s3043: 
高度な数学が必要なら, 数学者に頼む場合もあるのか. M: 読書感想文ネタか(?) // グロスマンや, ゾンマーフェルト, ヨルダン, フォン・ノイマン などの人名をあげてみるテスト

12s3044: 
ルジャンドル陪関数は, $ m$ ではなく $ \vert m\vert$ に依存するとのことだが, このことは物理的にどのような解釈ができるか? M: 自分で色々と考えたら面白いのでは(?) // 右回りと左回りが...

12s3045: 
ルジャンドル方程式はなぜ有限でなければならないのか. 無限では行けないのですか. M: 方程式が有限あるいは無限とは? // 何をやろうとしてルジャンドル方程式が出てきたのか, よーく思い出してみればいいのでは(?)

12s3046: 
ルジャンドル陪関数 $ P_l^{\vert m\vert}$ の解にも何か法則性があるのですか. M: 自分で見つければいいのでは(?) // てゆーか, 関数の解とは何か?

12s3047: 
ルジャンドル方程式の $ z$ の範囲について, $ z = \cos\theta$ として $ 0 \leq \theta \leq \pi$ → $ -1 \leq z \leq 1$ となっていますが, 動径 $ r$ は無限大の値をとりうるのに, ここではなぜ $ z = r \cos\theta$ を $ r = 1$ に断定して z の範囲を -1〜1 に縮めることができるのですか? M: そんなことしていないから. // ``縮める'' とは?

11s3001: 
ルジャンドル多項式は一般解がなく, $ l$ の数値に応じてルジャンドル方程式を解くしかないのでしょうか? M: 12s3032 参照 // 多項式の一般解とは何か?

11s3009: 
ルジャンドル方程式を解くのは難しいと講義で言っていましたが, 解く場合は微分方程式で解きますか? M: 意味不明. ``微分方程式で解く'' とは, 何をどうすること. // そもそもルジャンドル方程式は微分方程式だしぃ. 12s3032 参照

11s3014$ -$: 
直交系は重なり積分が 0 となるときであるとのお話でしたので辞書で重なり積分を調べたところ「 $ \int \psi_a^* \psi_b$   d$ r$」が例として載っていました. 今回の解である $ P_l(x)$ らの場合, $ \psi_a^* \psi_b$ には $ P_0(x)$ と $ P_1(x)$, $ P_1(x)$ と $ P_2(x)$ などが対応しているということでしょうか. また, なぜ 0 になるとわかったのですか? M: 一般的な例示に対する目前の実例との対応について, 自分で判断できないのは何故か? // 教科書の記述は読んで理解したのか? 理解したら, 次にどういう行動をとればいいだろうか? 12s3004 も参照

11s3015$ -$: 
放射性同位体は, $ \alpha$, $ \beta$ 壊変して最後は安定同位体となりますが これでは, 放射性同位体は世の中に存在しなくなるように感じました. 特に, 半減期と聞くと最後にすべてなくなるものだと思ったのですが実際はどうなんでしょうか? M: 字面から意味を想像するのは勝手ですが, 科学的にある程度正確な話をするのならば, 用語の意味をきちんと調べて内容を理解してからにしたらよいのではないでしょうか.

11s3019$ -$: 
式 (6.10) の解の $ P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta)\Phi_m(\phi)$ は水素原子のオービタルの角度部分だけでなく 剛体回転子の波動関数にもなるのか? M: そのように考えた根拠は何か? で, どうして他人に yes/no を問わなければいけないのか? // 教科書をよく読んだか?

11s3022: 
今回の授業で $ Y_l$ は, 規格化直交系になっていると学びましたが, どうやって規格化直交系であることを証明したのでしょうか? M: あなたなら, どうしますか? 挑戦してみれば良いのではないでしょうか(?)

11s3025: 
お湯を入れたコップと水を入れたコップを冷凍庫に入れると, お湯の方が先に凍ることがあるというムペンバ効果は なぜおこるのでしょうか. 凝固点には水の方が先に到達すると思うし, 過冷却の時間がお湯の方が水よりも短いということでしょうか. M: 既に自分で答えを言ってますネ :-) ``凍ることもある'' と. すなわち, 偶然でしょう. 厳密に細かい条件まで制御して, その効果が再現されるという話は, 未だ聞いたことがありません.

11s3026+: 
$ \Theta_l^m = (-1)^m \Theta_l^{-m}$ の求め方と 教科書の求め方は同じであるか. M: 頭書の式は, 何かから求めたものではない. 例えば $ l=1, m=1$ の時に $ \Theta_1^1 = (-1)\Theta_1^{-1}$ であり, m が正の奇数の時に負号がつくということの数式による表現. // 教科書は, 求め方を示さずに結果だけを表に与えているので, 他の本と求め方が同じかどうかは分からない.

11s3027: 
角運動量の 2 乗に対応した量子力学演算子 $ \hat{L}^2 = -\hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{... ...theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2} \right]$ は, なぜ式 (6.9) の [] 内に与えられた演算子とほとんど同じになるのですか. M: 運動量とエネルギーとの間の関係 ( $ E = \frac{p^2}{2 m}$) から自明では(?)

11s3028+: 
ルジャンドル方程式の解は $ m=0$ のときと $ m \neq 0$ のときで総称が異なっているが, 解がもたらす意味はどう異なるのか? M: ``意味'' は自動的に生じるのではなく, 人が付与するモノ. 立場の異なる人は, それぞれ異なる意味を付与するだろう. あなたはその解に, どんな意味を持たせますか?

11s3031: 
$ \Theta_l^m = (-1)^m \Theta_l^{-m}$ で $ m$ が正の奇数とそれ以外で, $ (-1)$ の因子をつける or つけないという流義[原文ママ]がありますが, 教科書と答えがかわってしまいますか? M: 12s3019 参照

11s3034: 
$ Y_1^0 = \left( \frac{3}{8 \pi} \right)^{1/2} \cos\theta$, $ Y_1^1 + Y_1^{-1}$, $ Y_1^1 - Y_1^{-1}$ のところで, $ \cos\theta \rightarrow z$, $ \sin\theta\cos\phi \rightarrow x$, $ \sin\theta\sin\phi \rightarrow y$ となっていますが, どういった理屈で そうなったのですか? M: デカルト座標系と極座標系との対応を考えると, 講義では説明したのに, 伝わっていなくて残念 (;_;)

11s3035+: 
$ P_l^{\vert m\vert}(x) = (1 - x^2)^{\vert m\vert/2} \frac{\text{d}^{\vert m\vert}}{\text{d}x^{\vert m\vert}} P_l(x)$ の式で, $ \vert m\vert > l$ のとき $ (l - \vert m\vert)$ はゼロ因子になると授業で習いましたが, なぜゼロ因子となるのですか? $ (l - \vert m\vert)$ は負にならないのですか? M: 少し誤解している予感. 自分でいくつか計算してみれば分かるのでは(?) // $ l$ 次の多項式である $ P_l(x)$ を $ \vert m\vert$ 階微分するとどうなるか? という問題. $ \vert m\vert < l$ なら $ (l - \vert m\vert)$ 次多項式, $ \vert m\vert = l$ なら定数, では $ \vert m\vert > l$ の時は?

11s3039+: 
前回の授業についての質問ですいません. 教科書の (6.14) 式から (6.15) 式を導く時, 一般性についての話があったが, どうして前回厳密に一般性を考えなくて良いのか. 一般性について, 全て同様の一般性を持つのではないのか. M: とりあえず微分方程式を満たす解が得られればよい. ここで微分方程式は Schrödinger 方程式 であり, 解は波動関数として物理的に意味のあるものでなければならない. 数学的な一般解に含まれる 2 個の任意定数のうち, 全体の定数倍に関係するものは, 波動関数の規格化条件により規定される. また波の位相因子に関するものは, 幾つであっても物理的には同等なので, 例えば簡単のためにゼロとしても物理的には一般性を失わない. ただし $ m \neq 0$ については二重縮重なので, 互いに独立で直交している解にが得られるように考慮しておく. // 質問の後半は意味不明.

11s3044: 
$ \Theta_l^m = (-1)^m \Theta_l^{-m}$ の方が正式なものなのですか. M: 正式か否かの基準は何か?

10s3021: 
$ P_l$ で $ l$ が偶数なら偶関数, 奇数なら奇関数なのはなぜなのか? M: ルジャンドル方程式を解く過程は, より高度な教科書・参考書を参照してください. 講義のサポート web ページに紹介しているものにも記載されています.

10s3026: 
ルジャンドル多項式について, $ l$ が多項式の次数を表していること, $ l$ の偶奇と多項式の偶奇が一致するのはなぜなのか. M: 10s3021 参照

10s3028: 
光子と原子の違いは何ですか. M: 本気の質問ですか? 何点狙いですか?

10s3039: 
(6.28) 式の $ P_l^{\vert m\vert}$ と $ P_n^{\vert m\vert}$ が直交しているのはなぜですか. M: 12s3004 参照

10s3044: 
$ Y_l^m(\theta, \phi) = \left[ \frac{(2l + 1)}{4 \pi} \frac{(l - \... ...{(l + \vert m\vert)!} \right]^{1/2} P_l^{\vert m\vert}(\cos\theta) e^{i m \phi}$ は負号の違いを省略していますが, この教科書を進めていくなかで不都合が生じることはありますか? M: 勉強してみれば分かるのでは(?) オカシイと思ったら, 別の本を参照すればいいのだし.

09s3043: 
シュレーディンガー方程式を分解した動径方向の微分方程式で $ l(l+1) / 2 m r \sim 2$ という部分で 波動関数がなぜ球対称なら $ l = 0$ なのでしょうか? M: どこから $ l(l+1) / 2 m r \sim 2$ が出てきたのか? // 教科書 §6.5 をよく読めばいいのでは(?)

07s3042: 
符号問題に関する点で他の教科書にも $ (-1)^m$ はついてなかった. 正しいと思われる方を教えないのは, 「あまり意味がなく簡単だから」に尽きるのか? 全ての教科書で統一すべきだと思うのに何故しないのか? M: 例えばアトキンスの物理化学では $ (-1)^m$ が付いた形で書いてある. // 単なる著者の誤解や誤植かもしれない. // 12s3040 参照


Ryo MIYAMOTO, 2013-10-28