X軸上の整数点の上を，等しい確率で右または左の点へ移動するランダム・ウォークを考えます。今，図のように3点O(0)，A(-a)，B(b)があり，点Oを出発したランダム・ウォークが，点AまたはBに達したとき止まるものとします。

　Oを出発したランダム・ウォークがAで停止する確率をP(A)，Bで停止する確率をP(B)と書くことにします。確率P(A)，P(B)はどんな値をとるのでしょうか？
　この値は，線分OA，OBの長さに関係するように思われます。また上の図では，Aの方が出発点Oに近いので，P(A)の方がP(B)より大きいように思えます。実は，


となります。
　さらに，AまたはBで停止するまでのランダム・ウォークのステップ数をNとすると，その期待値E(N)は


となります。

　この様子を，下のモデルでためしてみましょう。
　STARTを押すと，ランダム・ウォークはスタートします。a=2，b=4ですから，


です。A，Bそれぞれに達する相対頻度が，この値に近づく様子がたしかめられましたか？

　原点Oから，3本の放射線OA，OB，OCが伸びており，OA上にはa個，OB上にはb個，OC上にはc個の点がある図を考えます。

　この図の上を，原点を出発したランダム・ウォークが，放射線の端の点AまたはBかCに達したとき，停止するとします。ランダム・ウォークが，端点Aで停止する確率P(A)を求めてみましょう。

(A)　第一歩で，OA上の最初の点に移った場合を考えます。
　その後，このランダム・ウォークは，どうなるのでしょうか。
　直線上のランダム・ウォークの結果を使えば，この後，…

(B)　第一歩で，OB上の最初の点に移った場合は…
　同じように直線上のランダム・ウォークの結果を使うと，

　1)　確率 1/b で端点Bに達し，ここでランダム・ウォークは停止してしまい，Aに達することはありません。
　2)　確率 (b-1)/b で原点Oに達し，この場合「振り出しに戻る」ことになります。


(C)　第一歩で，OC上の最初の点に移った場合…
　このときは(B)と同じですね。

　(A)，(B)，(C)はいずれも1/3の確率でおこるわけですから，P(A)は次の式を満たします。


これから

となります。
　B，Cに達する確率P(B)，P(C)も同様に

となります。
　端点で停止するまでのステップ数Nの期待値E(N)は

となります。
　では，次のモデルでためしてみましょう。

　a=2，b=3，c=4ですから，


　より詳しい話は，
　G.ブロム，L.ホルスト，D.サンデル『確率論へようこそ』 シュプリンガー・フェアラーク東京　第1章と第10章
　または，小関君のレポート(http://www.st.hirosaki-u.ac.jp/~mathsci/m200806/random.pdf)を参照してください。