構造物理化学 II (20151014) M: 以下は宮本のコメント
14s3001: 
1 価の関数であるというのは どういう意味ですか? また, 1 価の関数であるなら必ず $ \Phi(\phi+2 \pi) = \Phi(\phi)$ となるのですか? M: 今さらこんな質問が出てくることに, ビックリ. 基本的な用語の意味が分からないのでは, 講義の内容を全く理解できないでしょう. 他にも分からない言葉が多そうですね. 自分で調べて理解する習慣を身につけたほうが良いのでは(?)

14s3002: 
ルジャンドル方程式では $ \vert m\vert \leq l$ のときのみ有限の解を与えるとありますが, $ \vert m\vert \geq l$ の場合の関数は どのようになるのでしょうか. M: 有限じゃない解になるのでしょう. 14s3003 参照

14s3003: 
ルジャンドル方程式について, $ \beta = l(l + 1)$ ( $ l = 0, 1, 2, \dots$) であれば解が有限になる流れがよくわかりません. ただ単に $ \beta$ が整数なだけでは駄目なのですか? M: 駄目です. (+) ルジャンドル方程式を解く過程を説明していませんので, よくわからなくて当然ですが, そういう時は自分で物理数学の参考書などを参照して, 解き方を勉強すれば良いのでは(?)

14s3005: 
「解法を思いついてはいるが, それが完全に正しいという自信を持てない状態」や, 「ほとんど忘れているけれども, 教科書と 1 分くらいの時間があれば解ける状態」は, 問題が解けると言えるでしょうか. こういった状態では, 学生として, 不十分でしょうか. // ルジャンドル方程式は, 他にどんな場面で出現しますか. M: 定義による. / どうしたら完全に正しいとわかるか? 自信を持てるか? / 教科書持込不可の試験では, 解けるとは言えないだろう. // 14s3022 参照

14s3006: 
ルジャンドル多項式において, 規格化直交が重要視されているのはなぜですか. そうでなければならない理由はあるのですか. M: 別に重要視はされていない. ところであなたはルジャンドル多項式を何のために用いたいのか?

14s3007: 
表 6.1 の $ \DS P_l(x)$ は直交していると書いてありますが, どのようにして直交していることが分かるのですか? M: 定義に従えば良い. 基本的な事項が全く頭に入っていない予感. てゆーか, 教科書のその後にちゃんと書いてあるじゃん! まずは教科書をよくよく読むようにして, さらに学んだことを復習する必要があるのでは(?)

14s3008: 
ルジャンドル多項式で $ \DS P_l(x)$ の最高次の項は $ \DS x^l$ ということは 数学的帰納法で証明できますか? M: どうやって証明するのか, 私は知りません. 14s3003 参照 // 論理が逆な気がしますが.

14s3009: 
ルジャンドル方程式を解けば, 球面調和関数を求められるのですか. M: 講義での話の流れ・論理の流れを理解していただけなくて残念

14s3010: 
(6-14) 式を解く過程で一次独立かどうかを確かめるときに $ m \neq 0$ であってはならなかった理由は何ですか. 結果的に $ m$ も解となるので $ m = 0$ の条件を含めては良くないのですか. M: (+) 実際に $ m = 0$ を代入した関数がどんな式になるか. そしてそれが解になっているかどうか, 自分で確かめてみれば良いのでは(?) // (+) 解く過程の論理を, 良く考えてはいかがか. 二つの特解が互いに一次独立であることと, ある関数が微分方程式の解であることは, 別の話. // この質問文が意味不明なことは, さらに別の話.

14s3011: 
シュレーディンガーによって, 水素原子以外の原子の性質を解くことは出来ないのですか? M: もちろんできる. 教科書 7 章以降を自分で勉強してみれば良いのでは(?)

14s3012: 
(6.14) 式 $ \DS \frac{\d^2 \Phi}{\d \phi^2} = -m^2 \Phi$ が $ m \neq 0$ のとき 2 重縮退していると明記していましたが, $ m$ の値が物理的なエネルギーのようすを表すのでしょうか. 具体的に $ m$ の値によって形が認識できるのでしょうか. M: 教科書の少し先まで呼んで勉強すれば良いのでは(?) // $ m$ は直接エネルギーを表すわけではないが, オービタル角運動量の $ z$ 成分という物理的意味はある.

14s3013: 
$ \Phi$ と $ \phi$ や $ \Theta$ と $ \theta$ を使い分けているのはなぜですか. ただ区別しているだけなのでしょうか. M: 違うものに同じ名前・記号を割り当てては, 混乱しますね.

14s3014: 
ルジャンドル多項式, $ m = 0$ のときの式 (6.23) の解である $ \DS P_1(x) = x$ について $ \DS P_1(x)$ が直交であることを どのように証明すればよいか. M: 14s3007 参照

14s3015: 
ルジャンドル多項式の性質で, 規格化直交系であるというのがあったが, どのようにして証明したのでしょうか. M: ``規格化直交系'' とは言っていない. 14s3007 参照

14s3016: 
物理的に意味のあるルジャンドル方程式を用いることができるということは, 水素原子の構造や性質は物理的に解き明かされているということですか. M: ``〜ということは'' という前半は, 勘違いでしょう. 後半について, 水素原子の構造や性質が解き明かされていないと思っているらしいことにビックリ(!) 身の回りの世界や現実の物質が, ファンタジーだとでも思っていたのか(?)

14s3017: 
球面調和関数 $ Y$ は地震の様子を表すことができるとのことでしたが, 具体的にはどのように行うのでしょうか. M: 微妙に違う. 地震による地球の地殻の振動と言った. 自分で地球物理学を勉強するか, 地震の専門家に聞けばいいのでは(?)

14s3018: 
$ \DS \Phi = A_m e^{i m \phi}$ の式で, $ m$ が正の時は進行波, $ m$ が負の時は後退波ということですか? M: 自分で判断できないのはナゼか?

14s3020: 
ルジャンドル方程式について, 表 6.1, 6.2 の解を得る時, それぞれ水素原子はどのような状態なのでしょうか? M: 教科書の少し先まで呼んで勉強すれば良いのでは(?) てゆーか, 変数分離法を理解していないのか(?)

14s3021: 
ルジャンドル多項式 $ \DS P_n(x)$ は $ n$-次多項式であるロドリゲスの公式 $ \DS P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{\partial^n}{\partial x^n} \left[ (x^2 - 1)^n \right]$ で表すことができると本に書いてあったのですが, こちらを使うことでルジャンドル多項式と同じように $ \DS P_n(x)$ の解を表すことができるのでしょうか? M: 何の本に書いてあったのでしょうか? 自分で手を動かしていくつか計算してみれば良いのでは(?)

14s3022: 
ルジャンドル多項式は今回習ったものの他にどんなときに出てきますか. M: 物理の本を見れば良いのでは(?)

14s3023: 
$ P(x)$ の性質として $ \DS P_l(x)$ の前の因子は $ \DS P_l(x) = 1$ となるように選ぶ, とありましたが, それはなぜですか. そうすることで何かメリットがあるからなのですか. M: もちろん, 都合が良いからでしょう. どう良いのかは, 自分で考えてみればいいのでは(?) (私は二つ思いつきました :-) )

14s3024: 
ルジャンドル方程式は $ \beta = l(l + 1)$ と $ \vert m\vert \leq l$ (ただし $ l = 0, 1, 2, \dots$) のときのみ有限の解を与えるとありましたが, なぜこのような条件があるのですか. M: 14s3003 参照

14s3025: 
特別解を出した後, 一次独立かどうか調べるために用いていたのは, ロンスキアンというものでしたが, これは下の式にあるような行列の事でいいのですか? M: 自分で判断できないのは, 何故か? というか, ``下の式'' とはどれのことでしょうか? なお, 特別解ではなくて特殊解です.

14s3026: 
ルジャンドルさんは どんなことから この方程式を導きだしたのですか? M: 本人に聞けばいいのでは(?) :-p

14s3027: 
(6.14) を解いた一般解は $ \DS \Phi(\phi) = c_1 e^{i m \phi} + c_2 e^{-i m \phi}$ となりますが, 教科書の (6.15) のように分かれているのは何故ですか. M: 私の説明は講義でしました. 微分方程式についての理解が不十分か(?) 著者の意図は著者本人に聞けばいいのでは(?) :-p

14s3028: 
整数 $ m$ が水素類似原子のオービタルの角度部分と関係していることはわかった. では, 原子のオービタルがどのように変化すると $ m$ の値が変化するのか. M: 14s3012 参照

14s3029: 
ルジャンドル方程式において定数 $ \beta$ を $ l$ を用いて表しましたが, 波動関数として考えるとこの $ l$ は何を意味するものなのでしょうか. M: 軌道角運動量の二乗の固有値が $ l (l + 1) \hbar^2$ になります. 14s3003 も参照

14s3031: 
教科書では式の形から変数分離を用いるとあるが その判断の基準がわかりません. 使われる文字の数などに制限はあるのでしょうか. M: 数学の基礎 (偏微分方程式) を勉強すれば良いのでは(?) // 変数分離法の, 分離の仕組みを理解すればわかるのでは(?)

14s3032: 
(6.13) 式は変数変換を行いましたが, $ x = \cos\theta$ 以外の変換で解くことはできるのでしょうか. M: そりゃできるかもしれませんね. しかしそれはルジャンドル方程式とは別のものになりますので, ルジャンドル方程式の知識は使えないことになりますネ.

14s3033: 
$ \DS P_l(x)$ (ルジャンドル多項式) が直交系になるのはなぜでしょうか. それによってどんな物理的な意味がありますか. M: (+) 直交多項式は, いくつもあります. 以前に出てきたエルミート多項式や, 今後出てくるラゲールの多項式なども. // §4.5 も参照. 基底関数系に使える.

14s3034: 
ルジャンドル多項式 (方程式?) で出てくる $ l$ とは何を表しているのでしょうか. M: 14s3029 参照

14s3035: 
「 $ -1 \leq x \leq 1$」や「 $ m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$」などはルジャンドル方程式を用いることのできる条件としてあると思いますが, その他にルジャンドル方程式を使用できるときの条件はありますか. M: ルジャンドル方程式を使用できる条件は, 別に無いと思いますが. 示されている条件は, ルジャンドル方程式が物理的に意味のある解を持つ条件です. 物理的意味のある解が得られないなら使っても無駄という意味では, 使用できる条件なのかもしれないが. 14s3003 も参照

14s3036: 
角度部分の方程式は剛体回転子の方程式と同じくなるということは, 同じような動きをしているということでしょうか. // 一次独立かどうかを調べて, $ -2 i m \neq 0$ となったあとに, $ m = 0$ も解に含まれていますが, $ m = 0$ の時には一次独立ではないということでしょうか. M: いいえ. 古典力学的な意味での回転運動は, していません. 役者の動きと, それを撮影して映写されるスクリーン上の画像の動きが同じかと問われると…どうでしょうか? // なぜ自分で判断できないのでしょうか? 14s3010 も参照

14s3037: 
有限の解であれば物理的に意味があるといえるのでしょうか. また, 物理的に意味のある解であれば有限の解なのでしょうか. M: 波動関数の備えるべき条件は? // 例えば静電的なエネルギーという物理量を表すクーロンポテンシャルは, どうなっているか?

14s3039: 
一般的な規格化以外に規格化のしかたは他にあるのですか. M: 言葉を省略しすぎました. 教科書の ``一般的な関係式を利用しての規格化'' ならどうでしょうか?

14s3040: 
シュレーディンガー方程式がルジャンドル方程式へと変形できるように他にも有名な方程式から方程式に変形することによって解を見つける解き方はあるのですか? M: 方程式の名称は教科書に出てきませんでしたが, エルミートの微分方程式とその解 (エルミート多項式) は見覚えがあるはずです. またこの後すぐにラゲールも出てきます. 他にも多数あると思われますので, 物理数学の参考書など見れば良いのでは(?)

14s3041: 
$ \DS P_l(x)$ の前の因子は $ \DS P_l(1)=1$ になるように選ぶとおっしゃっていましたが, どうして $ \DS P_l(1)=1$ になるように選ぶのですか. M: 14s3023 参照

14s3042: 
(6.14) 式から (6.17) 式等を導く時に, ロンスキアンの $ m$ の値と最終的な $ m$ の値が 0 において一致しなかったのに 0 もなぜ値の 1 つなのかよくわかりませんでした. それは なぜですか? M: 14s3010 参照

14s3043: 
(6.14) の微分方程式で, 一次独立かどうか調べる時に $ m \neq 0$ になったのに, なぜ答えに $ m = 0$ が入るのですか? M: 14s3010 参照

14s3044: 
極座標のパラメータである $ \theta$ と $ \phi$ は両者とも角度であり, 見方を変えると同じものを表していると考えました. であるのに式を解いていった際に $ \theta$ と $ \phi$ で解法に違いが存在するのは何故でしょうか? M: 角度ならば何であっても同等なのか? 緯度と経度は同等なのか?

14s3045: 
ルジャンドル方程式は古典物理学 (古典力学) ではよく知られた方程式とありました. しかし最初にルジャンドル方程式をみたとき, エルミート多項式と形が似ていることから, 何か関係性があると思ったのですが, 関係があるのでしょうか. あるとすれば, ルジャンドル方程式は量子論的考え方になるのではないでしょうか. M: 関係があるかどうか, 私は知りません. // ``あるとすれば'' 以降の論理展開が意味不明です. エルミート多項式は, 量子論 (シュレーディンガー方程式) が誕生する以前からあったはず.

13s3001: 
$ \DS \Phi_m(\phi)$ を解いたときに, ロンスキアンで $ m \neq 0$ として解を求めたのに, $ m = 0$ のときも $ \DS \Phi_m(\phi)$ の解になっているのはなぜですか. M: 14s3010 参照

13s3006: 
変数変換のときに $ \sin\theta$ でなく, わざわざ $ x = \cos\theta$ とおいているのは, $ -1 \leq x \leq 1$ にして $ \DS P_l(x)$ を直交系にするためでしょうか. M: 勘違いか考えすぎでしょう. 変換後の変数の定義域と直交性の関係は, 第一義的な問題ではないと思われます.

13s3023: 
ルジャンドル多項式は他にどのような物理学的問題に現れるのでしょうか. M: 14s3022 参照

12s3017: 
授業でとりあつかった $ \DS \frac{\d^2 \Phi}{\d \phi^2} = -m^2 \Phi$ (6.14), $ m \neq 0$ のとき二重縮重しているとありましたが. $ m$ は 0 以外のすべてのとき, この物理的状態は対称性をもっているという考え方はあっていますか? M: 自分で判断できないのは, 何故でしょうか? // 対称性とは, 何の話ですか?

12s3024: 
ルジャンドル陪関数のなかで $ m = 0$ の場合だけルジャンドル多項式というのはなぜですか? M: 陪関数 (associated function) の名称の意味と, これらがどうやって導出されたか定義されたかを考えれば, $ m = 0$ の場合を含めて全てを ``陪関数'' と呼ぶことの奇妙さに気づくはず. // ``陪'' の文字の使用例として ``陪審員'' をあげておきます.


rmiya, 2015-10-22