構造物理化学 I (20150706) M: 以下は宮本のコメント

14s3001: 
$ \DS k_2^2 = \frac{2m}{\hbar} (V_0 - E)$ を $ \DS k_2 = \left( \frac{2 m (V_0 - E)}{\hbar^2} \right)^\frac{1}{2}$ と変形しましたが, このとき $ \DS k_2 = \pm\left( \frac{2 m (V_0 - E)}{\hbar^2} \right)^\frac{1}{2}$ とならないのはなぜですか! M: 複号の意味を理解していますか? ならば, 正負のどちらでも一般解は同じ形になることは自明ですね(?)

14s3002: 
問題4.33 で式 (1), (2) の係数, A, B, C, D の 2 乗は, 粒子が与えられた領域で, 決まった方向に進行する確率を表すのはなぜですか? M: 係数が問題なのか, 2 乗が問題なのか? それとも進行波の式が問題なのか? 物理の基礎の復習が必要な予感.

14s3003: 
$ \DS E < V_0$ のとき領域 2 で粒[原文ママ]がほとんどないなら $ \DS k_2 \simeq 0$ で $ \DS \frac{\vert B\vert^2}{\vert A\vert^2} = \frac{k_1^2}{k_1^2} = 1$ でも解釈できそうなのですが, 違うのですか? M: それぞれの記号の *意味* をよくよく考えてください. $ \DS k_i$ は粒子の存在確率 (に比例する量) ではありません.

14s3005: 
粒子は, ポテンシャルエネルギーの変わり目で何にぶつかって反射しているのでしょうか. ミクロな粒子がカベのある所を通り抜けたり, カベのない所ではね返ったりするのは, 上下に幅をもって存在しているからでしょうか. M: 不思議ですね :-) なお, 階段状の図の縦軸はエネルギーであり, 物理的な位置を表しているのではありません.

14s3006: 
$ \DS E > V_0$ のとき, どのくらいの割合で反射するかということはわかりましたが, ある一定のポテンシャルである粒子のうち, 境界をこえる条件, 反射する条件を求める事はできるのですか. M: 理解不十分の予感. もしも ``ある条件を満足すれば反射する'' というのであれば, それは確率 100 % の事象ですね.

14s3007: 
$ \DS \psi_1(x) = A \e^{+i k_1 x} + B \e^{-i k_1 x}$, $ \DS \psi_2(x) = C \e^{+i k_2 x} + D \e^{-i k_2 x}$ という式は, どこから導くことができるのですか? M: 教科書 2, 3 章の復習が必要な予感

14s3008: 
反射の話で無限遠まで行くと反射はなくて無限遠まで行かなければ 100 % 反射されると言いましたが, それはどこまでいったら無限遠と呼べるのでしょうか? M: 正気ですか? ``無限'' の概念が理解できていないとは, 数学の基礎の復習が必要なのでしょうか(?)

14s3009: 
問4.33 で反射係数と透過係数を求めるときに, 複数の粒子を考える必要があったのでしょうか. 1 つの粒子を考えると何か問題はありますか. M: ``確率'' とはどういう意味ですか? 一回だけの試行で, 確率に意味がありますか?

14s3011: 
$ R=1$ となる時の領域 2 の粒子ですが, 領域 2 に粒子が存在している瞬間でも $ R=1$ なのですか? いずれ反射するから $ R=1$ としてよい, ということですか? M: $ R=1$ を求めた計算の過程で, *今* とか *いずれ* とかの時間的な要素を考慮に入れなければ, 反射率を求めることが出来ないのでしょうか? 14s3009 のコメントの前半も参照

14s3012: 
$ \DS E < V_0$ のとき, 領域 2 で $ \DS -(k_2 + i k_1) A = (k_2 - i k_1) B$ の両辺の複素共役をとらずに $ \DS R = \frac{\vert B\vert^2}{\vert A\vert^2} = 1$ として粒子が 100 % 反射するとしてはいけないのはなぜですか? M: 自分で計算してみれば分かるのでは(?) その計算で反射率が 1 になるか? 複素数まで考慮する必要のある A, B の絶対値の二乗とはどういう計算をすればよいか?

14s3013: 
$ \DS E > V_0$ において, 領域 1 で反射した粒子については何も考えなくてもいいのですか. 関係ないので, 無視していいのでしょうか. M: 何をやったのか, 全然理解していない模様. 反射した粒子を無視せずに考えたから, 反射率を求めることができたというのに.

14s3014+: 
波でもあり粒子でもある光は 波動関数に従うのか? M: 輻射場の量子化 あるいは 第二量子化 ということになります. 詳細は専門的な参考書を参照.

14s3015: 
$ \infty$ まで進んで反射する粒子が存在するということは 粒子がどの位置であっても存在する確率は 0 ではないということですか. M: 誤解の予感. ``$ \infty$ まで進んで反射する粒子が存在する'' とは言っていない. $ \DS \lim_{x \rightarrow \infty} \psi_2(x) = 0$ なのだから.

14s3016: 
(*) 4.33 の問題で, 高さ $ \DS V_0$ のポテンシャル障壁を超えたことで, 粒子の波の振動数が変わることはあるのでしょうか. // 4.34 で $ C=0$ というのは, 100 % 反射するため, 領域 2 を右へ進行し続ける波はないことを表しているということでしょうか? M: 波動性を持つ粒子の運動量を $ \DS \hbar k_i$ が表しています. ド・ブローイの関係式により $ \DS k_i$ と波長が関係付けられています. // 全然違います, 行儀のよい波動関数の有限性のためです. 領域 2 における波動関数は波の形ではなく単純な指数関数です. 進行波や後退波の成分を持っていません.

14s3017: 
以前「ある個数の粒子がある場合, その平方根をとった個数の粒子は法則に従わず例外的な動きをする」という法則があると見かけたのですが, 今回の $ \DS E < V_0$ での領域 2 における粒子のふるまいはその法則の影響を反映しているのでしょうか. M: 反映しているかどうか, 自分で考えてみればいいのでは(?) ここでの粒子の振る舞いの法則とは? // ていうか, その法則って何?? ``法則に従わないという法則'' って, 結局全部法則通りという事では :-p

14s3018: 
領域 2 に粒子が存在している時, 運動エネルギーは負になる (はね返されるから?) と考えられますが, それは波動方程式が負の値をとるということですか? M: 何をどう計算したら, 運動エネルギーが負になるのか? イメージではなく, 自分でちゃんと計算してみたのか??

14s3020: 
4.33 において $ \DS \psi_1 = A + B$, $ \DS \psi_2 = C$ とありました. $ x=0$ において粒子はどのような状態なのでしょうか? M: 別に. 教科書 4 章の仮説 4 にしたがって, 必要な物理量を求めればいいでしょ(?)

14s3021: 
問題 4.34 では, 反射係数が 1 となるのに 領域 2 には粒子は存在するといっていましたが, しれだと透過していることになるので確率は 1 を超えるんのではないですか? M: 講義でも示した計算過程を, 自分でじっくり追ってみればいいのでは(?) 領域 2 に進行波は存在しないのに, どうやってゼロでない透過率を求めるのだろうか?

14s3022: 
ポテンシャルエネルギーが一定な領域 2 で途中で粒子は反射してしまうとは どういうことですか. M: スミマセン, 確かに ``領域 2 の途中で反射する'' という表現は誤解のもとですね. 正しくは, $ x$ が大きくなるにつれて粒子の存在確率が指数関数的に減少する, です. しかしこれで分かりにくい場合, 状況をイメージしにくい場合, (不正確ではあるが) 古典力学的描像を借りて ``途中で反射する・戻っていく'' としかたとえようがないのでは(?)

14s3023: 
$ \DS E > V_0$ のとき, 領域 2 で左に進む成分が無い理由はどうしてでしょうか. 説明してくださりましたが, 理解できませんでした. M: 簡単な力学の法則, 左向きに進行している粒子は, 何らかの力を受けない限り, そのまま進む. 進行方向が変化したならば, 何らかの力を受けたはずだ. しかし領域 2 で, 粒子に力をかける要素はない. 左向きに進行する粒子と衝突するわけでもないし, ポテンシャルによる力もゼロである ( $ \DS -\frac{\d V(x)}{\d x} = 0$).

14s3024: 
$ \DS E < V_0$ のとき「波がない」といっていましたが これはどういう意味ですか. // また $ \DS \e^{-2 k_2 x}$ の x を無限大にもっていけば 0 に収束するといっていましたが無限大にもっていくことは透過することと違うのですか. M: 実数の指数関数は, 振動する波ではありません. (指数部に虚数を持つ指数関数は, オイラーの公式により, 振動する波と言えるが.) // 波が透過するとは, どういうことですか? このことを, どのように表現しますか?

14s3025: 
p.153 に $ \DS \e^{i k x}$, $ \DS \e^{-i k x}$ はそれぞれ右, 左へ進行しているとあります. 領域 2 では左へ進む粒子を除外とあるが, 行う事で, 計算はやりやすくなるのか? これを無視しても普通に求めれるのですか? M: 本気ですか? 四つある未知数 A, B, C, D のうちの一つが決まる ($ D=0$) ことは, 計算を楽にしませんか? 条件式が二つで未知数が三個の場合と四個の場合は, 同様に未知数を求めることができますか??

14s3026: 
R と T はそれぞれ反射係数と透過係数を表しているということですが, $ R+T=1$ とは物理的にどういう状態のことなのですか. M: 本気ですか? 進行してきた粒子が反射または透過する確率 (反射する確率と透過する確率の和) が 1 であることが, そんなに理解困難な状態なのでしょうか?

14s3027: 
問題 4.34 で, 反射するときに領域 2 にしみ込んでから反射する粒子が存在するということは, 領域 2 を右に進む粒子が存在し, $ C=0$ でなくなると思ったのですが, 境界条件が優先されるために考えなくていいのでしょうか. M: 違います, 条件の優劣・優先順位はありません. 領域 2 には, そもそも ``波がない'' だけです. 14s3016 の後半, 14s3024 のコメント参照

14s3028: 
4.33 においては, 右から左向きの運動を無視でき, 4.34 では無視できなかったのは なぜですか. M: あなたの誤解, 勘違いだから. 14s3027 など参照

14s3029: 
4.34 の問題において, $ R=1$ でも $ x=0$ の位置ではね返るとは限らず, しみ込んでからはね返ることもあるため, 領域 2 に粒子が存在する可能性があるとのことでしたが, それでも領域 2 では右に進む成分も左に進む成分もないという条件はハタンしないのでしょうか. M: 誤りなく計算して得られた結果ですから, 受け入れるしかありません, それをどう理解すればいいかという問題です. 同案多数あり参照のこと // なお, 質問における論理関係が変です. ``しみ込んでからはね返ることもあるため, 領域 2 に粒子が存在する可能性がある'' ではなく, ``領域 2 に粒子が存在するという事実は, (古典的な描像を借りて言えば) しみ込んでからはね返ることに喩えることができる'' とか, ``右に進む成分も左に進む成分もないという条件'' ではなく, ``右に進む成分も左に進む成分もないという計算結果'' です.

14s3030: 
実験的に無限遠 ( $ x \rightarrow \infty$) とはいえないがある程度の大きさの中で区分的なポテンシャルを作り出して実験することは可能ですか. M: 何が問題になるだろうか? 一様なポテンシャルか, 区分の境界における不連続か?? 厳密に区分的なポテンシャルを作り出さなければならないのか, 近似的でよいのか?? 現実に対する物理観・物理的センスが問われますね.

14s3031: 
量子力学において今回の構議[原文ママ]で取り扱った問題では $ x > 0$ では $ x$ が増加するにつれて $ \DS V_2$ での $ X$ の存在確率が低下することが式からわかったが $ X=0$ のときのみポテンシャルエネルギーの変化があり, それ以降は一定なのになぜそのようなことが起こるのだろうか. $ X$ 増加で $ V$ 以外に粒子に作用する何かも増加するのか. M: 問題の設定をすなおに受け取り, 結果をすなおに解釈すればいいだけでしょ. ポテンシャル障壁にしみ込むに際して, 浅くしみ込むのは容易で, 深くしみ込むのは困難だということは, 直感的なイメージとかけ離れたものだとは思えませんが(?)

14s3032: 
$ \DS E < V_0$ のとき粒子は領域 2 へ行っても必ず領域 1 へ 100 % 返ってくるとのことですが領域 1 へか返ってきた粒子は無限に左へ進んでいくのですか. M: もしも例えば $ x=-10$ の地点までしか返っていかないならば, $ x=-11$ の地点での反射係数はどうなるか? で, 実際に求められた反射係数は?? 例えば $ x=-10$ の地点で停止する要素はあるか?

14s3033: 
階段の上にある粒子が一部はね返るのはなぜでしょうか. 古典的な粒子ではないからということでしたが, どうも納得がいきません. // 4.34 で領域 2 にめりこんでから反射する粒子があるということでしたが, 壁の強度 (?) は一様ではないということでしょうか. M: 14s3005 参照 // 壁は現実世界の構造物ではありません, ``ポテンシャル障壁'' です, と言っても考えれば考えるほど分かりにくいですね :-)

14s3034: 
なぜ, 粒子が左から境界に進入する方が都合がいいのですか. M: 問題のポテンシャルに右から進行してくる粒子について, 自分で計算してみればいいのでは(?) 階段を下りる方向では, 量子力学に特徴的な結果にならないからでは(?)

14s3035: 
今回シュレーディンガー方程式の解を指数関数の形で表しましたが, 三角関数の形で表したとすると, 計算の結果に何か変化はありますか? M: 別に, オイラーの公式により両者は原理的には等価ですから. ただし例えば反射係数をどのように表現すればいいのか, 簡単な形で表すことはできるか?

14s3036: 
$ \DS E < V_0$ のとき, 領域 2 では, $ \DS \psi_2(x) = D \e^{-k_2 x}$ となりましたが, 粒子が $ x > 0$ の領域にも存在し, 無限遠のところまで行く可能性があり, そこで反射するのなら $ \DS \e^{k_2 x}$ の部分も残ると思ったのですが, $ \DS \psi_2(x) = D \e^{-k_2 x}$ となるのはなぜですか. // 粒子が左からとんできているときに指数関数となるとおっしゃっていましたが, どのようなときに三角関数となるのですか. M: (行儀のよい) 波動関数の有限性 // 別に, 好きにすればいいのでは. 14s3035 参照,

14s3037: 
4.34 において領域 2 の中に少し入り込んでから反射をすることがあり, $ D \neq 0$ なのであれば, 反射される前の右向きに進む粒子が見つけられる可能性もあり, 境界条件から導出される $ C=0$ と矛盾するように思うのですがなぜでしょうか. M: 勘違いだから. 14s3016 の後半参照

14s3038: 
エネルギー $ E$ の粒子が高さ $ \DS V_0$ のポテンシャル障壁に反射した場合, 粒子のエネルギー E は一定のまま反射するのですか? エネルギー $ E$ に変化はないのですか? M: 全エネルギーは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和です. 反射の前後でこれらに変化はあるか?

14s3039: 
なぜ $ \DS \psi_1(x) = A \e^{+i k_1 x} + B \e^{-i k_1 x}$ ($ x<0$), $ \DS \psi_2(x) = C \e^{+i k_2 x} + D \e^{-i k_2 x}$ ($ x > 0$) の係数の 2 乗は, 粒子が与えられた領域で決まった方向に進行する確率を表す, とすることができるのか. M: 14s3002 参照

14s3040: 
4.34 で領域 2 には, 粒子がいないことなないという結果になっていて, 右に進行する粒子が 0 であるなら, 左に進行する粒子が存在することが断言できないのはなぜですか? M: 意味不明, 激しく勘違いの予感. 14s3024 など参照

14s3041: 
$ \DS E < V_0$ の条件で $ \DS \psi_2(x) = D \e^{-k_2 x}$ という式から領域 2 では $ x$ 軸方向の負の方向に波が進行していると私は考えました. その波は領域 1 から進んできた波が反射していく波というように先生はおっしゃっていましたが, では領域 1 から入射してきた波は式に表わされず, 反射波だけ式に表されるのはどうしてですか. M: 聞き違い, 勘違いしているから. 私はそんな説明をしていないし, 領域 2 に波は無いと説明した. 14s3024 など参照

14s3043: 
4.34 の問題で領域 2 に入ってからはねかえる粒子もあると説明しましたが, 4.33 でも, 同じような事が起きるのですか? もし, 起きるなら, 領域 2 でも左向きに進む粒子があると思います. M: 解の波動関数が全てを物語っている. 4.33 では反射係数と透過係数を, 4.34 では反射係数を, それぞれ求めました. その結果をもとに, 良く考えればいいのでは(?) 前者では $ R < 1$ で $ R+T=1$, 後者では $ R=1$ でした.

14s3044*: 
ポテンシャルエネルギーが区分的に一定で, 壁を越えるだけのエネルギーを粒子が持っていないはずなのに一部が, 壁の中に入り込んでいくというのは, 持っていないはずのエネルギーをどこから出しているのでしょうか? M: エネルギー保存則を考えれば, 無から有は生まれません. 従って, 奇妙なことに, 量子力学的粒子は壁を超えるエネルギーを持たないのに壁にしみ込むと考えざるをえません. ここでエネルギーと時間の不確定性を考慮すると, ごく短時間なら (後述のエネルギーの大きさに反比例), 過大なエネルギーを持つとみなすこともできる. いずれにしても, 真に量子力学的な振る舞いは, 古典的な描像で理解することは困難である.

14s3045: 
$ \DS V > E_0$ [原文ママ]であれ, $ \DS V < E_0$ [原文ママ]であれ $ \DS \psi_1'(0) = i k_1 (A - B)$, $ \DS \psi_2'(0) = k_2 C ~[V>0] ~~k_2 D ~[V<0]$ と表せますが, 何故 $ \DS \psi_2'$ の方に複素数はついていないのか? M: 実数は複素数に含まれますから, 複素数はついています :-p 自分でしっかりと計算してみれば, 勘違いのポイントがわかるでしょう.

14s3046: 
粒子が領域 2 に入り込んでから反射するとありましたが, それからさらに $ x=0$ の地点で反射することはないのでしょうか. M: 何度も言っているが, 4.34 の領域 2 には進行波も後退波も無いので, 領域 2 で $ x=0$ に向かう波もその地点で反射される波も存在しない. 14s3024 など参照

13s3001*: 
$ E < V_0$ であるのに, $ V_0$ のポテンシャルエネルギーをもつ領域に粒子が存在する確率が 0 でないという現象はなぜ起こるのでしょうか? M: われわれの日常の感覚では不思議ですが, 日常の感覚が古典力学的世界観に基づくものであることを思い起こせば, 量子力学的な粒子の振る舞いを古典的な描像で理解することは困難であると言うしかない. 14s3044 参照 // 自然科学は why には答えられず how を解明するだけ.

13s3006*: 
領域 1 から領域 2 にしみ込む粒子だけでなく, 元から領域 2 に存在する粒子はないのでしょうか. 領域 2 では $ \DS V(x) = V_0$ だから最初に粒子が存在する場合は排除されるのでしょうか. M: ``元から領域 2 に存在する'' とは, どういうことでしょうか(?) どうやってその初期状態を作ったのでしょう(?) どのようにしてそのような初期状態であることを確認したのでしょう(?)

13s3012: 
問題4.35 でトンネル効果について書かれていますが, 粒子が障壁を通り抜ける確率が 0 でないのであれば, これを利用して, 例えばビール瓶の中にあった十円玉が底を通り抜けて外に出てくることは可能なのでしょうか. M: 自分で確率を計算してみればいいのでは?

13s3025: 
光を 100 % 反射する物体は, エネルギーの障壁が無限大ということになり実在しないのではないか? M: (古典的な) 光学では, 屈折率の異なる媒体の界面で, 光が全反射する現象が知られています. 今回の問題 4.34 でも, 反射係数は $ R=1$ であって, 全反射していますが(?)

12s3024: 
$ R+T=1$ なので $ A = B + C$ となると思うのですが $ A + B = C$ となるのはなぜですか? M: 思うのは勝手ですが, 間違った思いこみにとらわれず, 自分できちんと計算して理解してください.

10s3008: 
粒子のエネルギー $ E$ が障壁の高さ $ \DS V_0$ よりも高い場合でも〜予期していたか (問題 4.33) という一文がありましたが, なぜ反射されるのでしょうか. M: 古典的な粒子の振る舞いを考えれば不思議ですね. 量子力学的粒子には波動性があるから, という言葉は説明になってるようでもあり, なっていないようでもあり. 13s3001 なども参照


rmiya, 2015-07-29